Question

Найдите все значения a при которых выражение будет иметь 1 корень в промежутке [0;1] ]под корнем (4х-3) * log 5(2x-a)=под корнем (4х-3) * log5(3x+a)

Answer 1

$\sqrt{4x-3}*log_5(2x-a)= \sqrt{4x-3}*log_5(3x+a)$
$\sqrt{4x-3}*(log_5(2x-a)- log_5(3x+a))=0$
$\sqrt{4x-3}*log_5 \frac{2x-a}{3x+a}=0$
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) 4x - 3 = 0
x1 = 3/4 ∈ [0; 1]
2) $log_5 \frac{2x-a}{3x+a}=0$
$\frac{2x-a}{3x+a}=1$
2x - a = 3x + a
-2a = x
Если корень на промежутке [0; 1] всего один, то
-2a = x = 3/4
a = -3/8

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте поэтапно разберемся с выражением.

Выражение, которое дано, это:

√((4x - 3) * log₅(2x - a)) = √((4x - 3) * log₅(3x + a))

Для того чтобы выражение имело один корень на интервале [0, 1], необходимо и достаточно, чтобы оба аргумента под корнем были равными. То есть:

(4x - 3) * log₅(2x - a) = (4x - 3) * log₅(3x + a)

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. (4x - 3) ≠ 0:

Если (4x - 3) ≠ 0, то мы можем сократить оба выражения на (4x - 3). Получим:

log₅(2x - a) = log₅(3x + a)

Так как логарифмы имеют одинаковую базу (5), для равенства логарифмов должны быть равны их аргументы:

2x - a = 3x + a

Решим это уравнение:

2x - 3x = a + a -x = 2a x = -2a

Теперь мы можем проверить полученное значение x = -2a для интервала [0, 1]:

0 ≤ -2a ≤ 1

Так как a может быть любым значением, выберем a, удовлетворяющее этому неравенству. Например, возьмем a = 0.5:

x = -2 * 0.5 x = -1

2. (4x - 3) = 0:

Если (4x - 3) = 0, то получаем:

4x = 3 x = 3/4

Теперь у нас есть два значения x, удовлетворяющих исходному выражению:

1. x = -1
2. x = 3/4

Проверим оба значения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они действительно являются корнями:

1. При x = -1:

√((4 * -1 - 3) * log₅(2 * -1 - a)) = √((4 * -1 - 3) * log₅(3 * -1 + a)) √((-4 - 3) * log₅(-2 - a)) = √((-4 - 3) * log₅(-3 + a)) √(-7 * log₅(-2 - a)) = √(-7 * log₅(-3 + a))

Так как аргументы логарифма отрицательные, аргументы под корнем также должны быть отрицательными. Но на интервале [0, 1] это невозможно, по