Question

Можете, пожалуйста, исследовать функцию( f(x) = arcsin (1-x^2) / (1+x^2) ) по этому плану: 1. Область определения 2. Четная/нечетная 3. Точки, подозрительные на экстрем., характер экстрем. и что миниматьно, а что максимальное 4. Интервал возрастания 5. Интервал выпуклости/впуклости 6. Точки перегиба 7. Асимптоты 8. Значение в некоторых точках, точки пересечения с осями 9. График Я ничего не понимаю, а уже сдавать через пару часов. Очень надо, помогите пожалуйста arcsin (1-x^2) / (1+x^2)

Answer 1

Ловите полный разбор. Функция прикольная для исследования. Удачи вам!

Answer 2

Конечно! Давайте рассмотрим функцию по шагам:

1. Область определения: Функция arcsin(x) определена только в диапазоне [-1, 1]. При этом, знаменатель функции (1 + x^2) не может быть равным нулю, так как деление на ноль невозможно. Поэтому область определения функции f(x) равна множеству всех x, таких что -1 ≤ x ≤ 1.

2. Четность/нечетность: Функция f(x) = arcsin((1-x^2)/(1+x^2)) является нечетной, так как в ее определении используется функция arcsin(x), которая сама является нечетной.

3. Точки, подозрительные на экстремумы, характер экстремумов и минимум/максимум: Для определения экстремумов производная функции будет полезной. Давайте возьмем производную f'(x) и найдем точки, где она равна нулю: f'(x) = d/dx [arcsin((1-x^2)/(1+x^2))]

   Производная имеет сложный вид, но мы можем проанализировать ее поведение. Обратите внимание, что производная не определена при x = ±1, так как это значения, при которых знаменатель становится нулем. Для x, приближающихся к ±1, функция f(x) стремится к ±∞.

   Исследуя знак производной в интервалах (-1, 1), мы можем увидеть, что производная отрицательна на интервале (-1, 0) и положительна на интервале (0, 1). Это означает, что у функции f(x) есть локальный минимум при x = 0 и локальный максимум на границах интервала (-1, 1). Однако, учитывая, что функция arcsin(x) имеет область значений от -π/2 до π/2, локальный максимум не достигается, и f(x) имеет только локальный минимум в точке x = 0.

4. Интервал возрастания: Мы установили, что f(x) убывает на интервале (-1, 0) и возрастает на интервале (0, 1). Таким образом, интервал возрастания функции f(x) - это (0, 1).

5. Интервал выпуклости/впуклости: Чтобы найти интервалы выпуклости/впуклости, давайте найдем вторую производную f''