Question

При g′(1) g(x)=48 * ⁸√x * ¹²√x Только, пожалуйста, как можно подробней. Как для первоклассника

Answer 1

Итак, для начала найдем производную g'(x)

Это сложная функция, поэтому она берется следующим образом:

(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

Каждую производную возьму отдельно, чтобы вам было понятнее.

y(x) = ⁸√x = x^(1/8) - корень восьмой степени и степень 1/8 - это одно и то же, теперь рассмотрим функцию как степенную. Напомню, она берется следующим образом:

(xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹, тогда

y'(x) = (1/8)*x^((1/8)-1) = (1/8)*x^(-7/8)

Теперь рассмотрим вторую функцию:

y(x) = ¹²√x = x^(1/12) - тот же самый случай

y'(x) = (1/12)*x^((1/12)-1) = (1/12)*x^(-11/12)

Теперь перейдем к последнему шагу.

48 в функции g(x) - константа, поэтому ее можно вынести за скобки. Таким образом,

g'(x) = 48*((1/8)*x^(-7/8)*¹²√x + ⁸√x*(1/12)*x^(-11/12))

Теперь посчитаем значение производной при х = 1, просто подставив вместо х единицу:

g'(1) = 48*((1/8)*1 + 1*(1/12)) = 48*(5/24) = 10

Answer 2

Конечно! Давайте разберемся с вашим вопросом пошагово.

У вас дана функция g(x) = 48 * ⁸√x * ¹²√x, где ⁸√x обозначает восьмой корень из x, а ¹²√x обозначает двенадцатый корень из x. Вам нужно найти значение производной функции g(x) в точке x = 1, то есть g′(1).

Для начала, найдем производную функции g(x). Для этого мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций, которое гласит:

(d/dx)(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x),

где f(x) и g(x) - две функции, а f'(x) и g'(x) - их производные соответственно.

Применим это правило к функции g(x) = 48 * ⁸√x * ¹²√x:

g'(x) = (d/dx)(48 * ⁸√x * ¹²√x) = 0 + 48 * (d/dx)(⁸√x * ¹²√x).

Теперь нам нужно найти производную от произведения двух корней. Мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций еще раз:

(d/dx)(f(x) * g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Применим это правило к произведению ⁸√x * ¹²√x:

(d/dx)(⁸√x * ¹²√x) = (d/dx)(x^(1/8) * x^(1/12)) = (1/8) * x^(-7/8) * x^(1/12) + x^(1/8) * (1/12) * x^(-11/12) = (1/8) * x^(-7/8 + 1/12) + (1/12) * x^(1/8 - 11/12) = (1/8) * x^(-11/24) + (1/12) * x^(-7/24).

Теперь мы получили производную от ⁸√x * ¹²√x. Вернемся к нашей исходной формуле:

g'(x) = 48 * (d/dx)(⁸√x * ¹²√x) = 48 * ((1/8) * x^(-11/24) + (1/12) * x^(-7/24)).

Теперь мы можем вычислить значение производной g'(1) подставив x = 1 в формулу:

g'(1) = 48 * ((1/8) * 1^(-11/24) + (1/12) * 1^(-7/24)) = 48