Question

Решите дифференциальное уравнение xy''-9y'=x

Answer 1

$xy''-9y'=x\\z=y';z'=y''\\xz'-9z=x\\z=uv;z'=u'v+v'u\\xu'v+xv'u-9uv=x\\xu'v+u(xv'-9v)=x\\\frac{xdv}{dx}-9v=0|*\frac{dx}{vx}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{9dx}{x}\\ln|v|=9ln|x|\\v=x^9\\\frac{x^9du}{dx}=1|*\frac{dx}{x^9}\\\int du=\int\frac{dx}{x^9}\\u=-\frac{1}{8x^8}+C\\z=-\frac{x}{8}+C_1x^9=y'\\y=-\frac{x^2}{16}+\frac{C_1x^{10}}{10}+C_2$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы будем использовать метод вариации постоянных.

Пусть y = ux, где u - функция, которую нужно определить. Тогда y' = ux' + u'x, а y'' = ux'' + 2u'x' + u''x.

Подставим эти выражения в исходное уравнение и проведем необходимые дифференцирования:

x(ux'' + 2u'x' + u''x) - 9(ux' + u'x) = x.

Раскроем скобки:

xux'' + 2xu'x' + xu''x - 9ux' - 9u'x = x.

Упростим выражение:

xux'' + (2xu'x' - 9ux') + (xu''x - 9u'x) = x.

Теперь мы можем выбрать функцию u(x) таким образом, чтобы коэффициенты при производных равнялись нулю:

2xu'x' - 9ux' = 0, xu''x - 9u'x = 0.

Первое уравнение можно переписать в виде:

u' = (9u)/(2x).

Разделим оба уравнения на x^2 и проведем замену переменных:

v = u'/u, v' = (u''x - u'x')/(u'x^2).

Тогда уравнение u' = (9u)/(2x) примет вид:

v = (9)/(2x).

Продифференцируем это выражение:

v' = (-9)/(2x^2).

Теперь у нас есть два уравнения:

v = (9)/(2x), v' = (-9)/(2x^2).

Интегрируем первое уравнение по x:

ln|x| = (9/2)ln|x| + C1,

где C1 - константа интегрирования.

Выразим ln|x|:

(7/2)ln|x| = C1.

Теперь проинтегрируем второе уравнение:

v = -9/(2x) + C2,

где C2 - вторая константа интегрирования.

Теперь мы можем выразить u' через x:

u' = v = -9/(2x) + C2.

Интегрируем это выражение:

u = -9/2 ln|x| + C2x + C3,

где C3 - третья константа интегрирования.

Наконец, получаем решение исходного дифференциального уравнения:

y = ux = x(-9/2 ln|x| + C2x + C3),

где C2 и C3 - произвольные постоянные.