Question

MN-средняя линия трапеции ABCD с основаниями BC и AC. Диагональ BD пересекает MN в точке P. Найдите длину меньшего основания BC, если MN=8, а MP:PN=3:1 .

Answer 1

АВСД - трапеция.
MN - cредняя линия АВСД  ⇒  РN - cредняя линия ΔВСД  ⇒  ВС=2·PN .
MP:PN=3:1  ⇒  MP=3x , PN=x  ⇒  MN=3x+x=4x=8 ,  x=2 , PN=2 .
BC=2·PN=2·2=4 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобия треугольников.

Поскольку MP:PN=3:1, можно предположить, что MP равно 3x, а PN равно x, где x - некоторая константа.

Обозначим точку пересечения линий BC и MN как Q. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то MQ равно половине длины основания BC. Значит, MQ = BC/2.

Также из подобия треугольников MBD и NPD следует, что MD:ND=MP:PN=3x:x=3:1. Значит, MD равно 3/4 от BD, а ND равно 1/4 от BD.

Теперь рассмотрим треугольник MBC. Мы знаем, что MQ = BC/2, MD = 3/4 * BD и ND = 1/4 * BD. По теореме о трёх медианах в треугольнике MBC, точка P делит линию BD в отношении 2:1. То есть, BP = 2/3 * BD и PD = 1/3 * BD.

Так как BD = BP + PD = 2/3 * BD + 1/3 * BD = BD, мы можем записать следующее уравнение:

2/3 * BD + 1/3 * BD = BD.

Упростив это уравнение, получим:

2BD/3 + BD/3 = BD.

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

2BD + BD = 3BD.

Сократим BD на обеих сторонах:

2 + 1 = 3.

Таким образом, длина меньшего основания BC равна 3.