Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Дано: y=sinx y=0 x=0 x=П

Answer 1

Дано:

$y=\sin x \\ \\ y=0 \\ \\ x=0 \\ \\ x=\pi$

Найти:

Площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Решение:

Вспоминаем необходимую формулу Ньютона-Лейбница: $S=\int\limits^b_a \, f(x)dx =F(x)|^b_a=F(b)-F(a)$, где $a \rightarrow 0, \: b \rightarrow \pi, \: f(x)\rightarrow \sin x$

Остаётся эти значения подставить в нашу ранее записанную формулу определённого интеграла:

$S=\int\limits^\pi_0 \sin (x)\, dx =\int\limits \sin (x) \, dx =\Big(-\cos (x)\Big)|^\pi_0= \\ \\ -\cos(\pi)-\Big(-\cos(0)\Big)=-(-1)+1=1+1=2$

Ответ: $\Large{\bf S=2}$.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы должны найти точки пересечения этих линий и затем интегрировать функцию между этими точками.

Первым шагом найдем точки пересечения:

y = sin(x) и y = 0 пересекаются при y = 0, так как sin(0) = 0. Это означает, что линия y = sin(x) пересекает ось x в точке (0, 0) и (π, 0).

Теперь мы можем интегрировать функцию y = sin(x) между этими точками для нахождения площади фигуры:

S = ∫[0, π] sin(x) dx

Интегрируя sin(x), получим:

S = [-cos(x)] [0, π] S = -cos(π) - (-cos(0)) S = -(-1) - (-1) S = 1 - (-1) S = 1 + 1 S = 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = 0, x = 0 и x = π, равна 2 единицам квадратным.