Question

Найдите множество решений неравенства 3^x2-6*3^x+5>0

Answer 1

Пусть 3^х=а
а²-6а+5>0
По теореме Виета
а1+а2=-(-6)=6
а1×а2=5
а1=1
а2=5
3^х=1
3^х=3^0
х=0, по условию данный корень не удовлетворяет требованиям неравенства
3^х²-6×3^х+5>0
3^0²-6×3^0+5>0
1-6×1+5>0
1-6+5>0
0>0- ложь.
3^х=5
х=log3(5)
x€R,R€(log3(5);+беск.)

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте рассмотрим его как квадратное неравенство в переменной "y", где y = 3^x:

y^2 - 6y + 5 > 0

Мы можем факторизовать это квадратное уравнение:

(y - 5)(y - 1) > 0

Теперь мы видим, что уравнение имеет две точки пересечения с нулём: y = 5 и y = 1.

Давайте рассмотрим каждый интервал относительно этих точек:

1. Если y < 1, оба множителя (y - 5) и (y - 1) будут отрицательными, так что произведение будет положительным. Но у нас есть условие y = 3^x > 0, поэтому этот интервал не подходит.

2. Если 1 < y < 5, первый множитель (y - 5) будет отрицательным, а второй множитель (y - 1) - положительным. Таким образом, произведение отрицательно, что удовлетворяет нашему неравенству. В этом интервале неравенство выполняется.

3. Если y > 5, оба множителя (y - 5) и (y - 1) будут положительными, поэтому произведение также будет положительным. Но у нас есть условие y = 3^x > 0, поэтому этот интервал не подходит.

Таким образом, решением исходного неравенства 3^x^2 - 6*3^x + 5 > 0 является интервал 1 < y < 5, или в терминах x:

1 < 3^x < 5