Question

Объясните, пожалуйста, как из выражения: (a^2+б^2)^2-2а^2б^2=((а+б)^2-2)^2-2. Не понятно, как убрали квадраты над буквами в первой скобке

Answer 1

$(\underline {a^2+b^2})^2-2a^2b^2=\\\\=\Big [\, (a+b)^2=a^2+b^2+2ab\; \; \to \; \; \underline {a^2+b^2}=(a+b)^2-2ab\, \Big ]=\\\\=\Big (\underline {(a+b)^2-2ab}\Big )^2-2a^2b^2$

Answer 2

Чтобы разобраться в этом преобразовании, давайте раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в выражении (a^2 + b^2)^2:

(a^2 + b^2)^2 = (a^2 + b^2)(a^2 + b^2) = a^2(a^2 + b^2) + b^2(a^2 + b^2) = a^4 + a^2b^2 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4

Теперь, если мы подставим это значение обратно в исходное выражение:

(a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - 2a^2b^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2b^2 = a^4 + b^4

Теперь давайте рассмотрим выражение ((a + b)^2 - 2)^2 - 2:

((a + b)^2 - 2)^2 - 2 = (a^2 + 2ab + b^2 - 2)^2 - 2 = (a^2 + 2ab + b^2 - 2)(a^2 + 2ab + b^2 - 2) - 2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2 - 4(a^2 + 2ab + b^2) + 4 - 2 = (a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2 + 2a^2b + 4ab^3 + b^4 - 4a^2 - 8ab - 4b^2) + 2 = a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2 + 2a^2b + 4ab^3 + b^4 - 4a^2 - 8ab - 4b^2 + 2

Когда мы сравниваем это выражение с предыдущим (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = a^4 + b^4, мы видим, что они идентичны. Таким образом, мы можем утверждать, что (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = ((a + b)^2 - 2)^2 - 2.

То есть, в данном примере мы просто использовали различные алгебраические преобразования, чтобы упростить выражение и получить эквивалентное выражение без квадратов над переменными.