Question

Доказать,что a2+b2≥1/2,если a+b=1

Answer 1

A+b=1
b=1-a

a²+b²=a²+(1-a)²=a²+1-2a+a²=
=2a²-2a+1=½(4a²-4a+1)+½=
=½(2a+1)²+½≥½

так как ½(2а+1)²≥0

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение (a + b)²:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Из условия a + b = 1, мы можем записать выражение следующим образом:

(a + b)² = (1)² = 1.

Теперь давайте выразим a² + b² через (a + b)²:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Подставим в это выражение известное нам значение (a + b)² = 1:

1 = a² + 2ab + b².

Теперь давайте рассмотрим левую часть этого равенства:

1 = a² + 2ab + b² = (a² + 2ab + b²) + (a² + b²) = 2(a² + b²) + 2ab.

Так как 2ab является положительным числом, мы можем записать:

1 ≥ 2(a² + b²).

Теперь разделим обе части этого неравенства на 2:

1/2 ≥ a² + b².

Таким образом, мы доказали, что a² + b² ≥ 1/2, при условии a + b = 1.