Question

В каких случаях 4 точки плоскости лежат на одной окружности. Напишите, пожалуйста с доказательством

Answer 1

4 точки А В С К лежат на одной окружности, если они равноудалены от центра этой окружности. Пусть т. О - центр окружности. Тогда к каждой из этих точек можно провести радиус, причем: ОА=ОВ=ОС=ОК=радиус окружности. Во всех других случаях 4 точки не будут лежать на одной окружности.

Answer 2

Чтобы 4 точки плоскости лежали на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы существовала окружность, проходящая через все эти точки. Давайте рассмотрим оба направления этого доказательства.

Доказательство необходимости: Предположим, что 4 точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Пусть O - центр этой окружности. Тогда расстояние от O до каждой из этих точек одинаково и равно радиусу окружности.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB, то это равнобедренный треугольник. Рассмотрим угол AOB. Так как OB = OA, то угол AOB равен углу OAB. Аналогичным образом можно показать, что углы BOC и COD равны углам OBC и OCB соответственно.

Итак, у нас есть:

∠AOB = ∠OAB ∠BOC = ∠OBC ∠COD = ∠OCB

Теперь рассмотрим сумму углов треугольника AOC:

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC

Заменим значения углов согласно предыдущим равенствам:

∠AOC = ∠OAB + ∠OBC

Аналогично, сумма углов треугольника BOD:

∠BOD = ∠BOC + ∠COD

Заменим значения углов:

∠BOD = ∠OBC + ∠OCB

Таким образом, у нас есть:

∠AOC = ∠OAB + ∠OBC ∠BOD = ∠OBC + ∠OCB

Поскольку ∠AOC = ∠BOD (они являются смежными углами), то:

∠OAB + ∠OBC = ∠OBC + ∠OCB

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

∠OAB = ∠OCB

Аналогично можно показать, что:

∠OBC = ∠ODC ∠OCD = ∠OAD ∠ODA = ∠OBA

Таким образом, углы, образованные отрезками, соединяющими центр окружности O с каждой из точек A, B, C и D, равны попарно.

Теперь докажем достаточность:

Предположим, что имеются 4 точки A, B, C и D на плоскости, такие что углы ∠OAB, ∠OBC, ∠OCD и ∠ODA равны попарно (где O - некоторая точ