Question

Сколько существует троек натуральных чисел a, b, c, удовлетворяющих уравнению a+ab + abc + ac + c = 416?​

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

a+ab + abc + ac + c = 416

(а+ас) + (ab+abc) + (c+1) = 417

a(c+1) + ab(c+1) + (c+1) = 417

(c+1)(a+ab+1) = 417

417 = 3 *139, где 3 и 139 - простые числа. следовательно либо c+1 = 3 и  a+ab+1=139, либо с+1 = 139 и a+ab+1 = 3.

если с+1 = 139 и a+ab+1 = 3, то а=1,  б=1,  с=138(первая тройка)

если с+1 = 3 и a+ab+1 = 139, то:

с=2

a + ab + 1 = 139

a(b+1)=138, где 138= 1*2*3*23, поэтому возможных пар чисел а и b будет - 7 (когда a=1,2,3,6,23 и 46).

итого 8 троек

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем количество троек натуральных чисел, удовлетворяющих ему.

Уравнение, данное в задаче, выглядит следующим образом: a + ab + abc + ac + c = 416

Мы можем вынести общий множитель из первых трех слагаемых: a(1 + b + bc) + ac + c = 416

Заметим, что мы можем вынести общий множитель из последних двух слагаемых: a(1 + b + bc) + c(a + 1) = 416

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые: (a + c)(1 + b + bc) = 416

Мы ищем тройки натуральных чисел a, b, c. Теперь рассмотрим различные способы представления числа 416 в виде произведения двух множителей.

416 = 1 * 416 = 2 * 208 = 4 * 104 = 8 * 52 = 13 * 32 = 16 * 26 = 26 * 16 = 32 * 13 = 52 * 8 = 104 * 4 = 208 * 2 = 416 * 1

Таким образом, у нас есть 12 пар множителей, которые могут соответствовать (1 + b + bc) и (a + c).

Теперь рассмотрим каждую пару множителей:

1. 1 + b + bc = 1 и a + c = 416 Из первого уравнения получаем b = 0, и из второго уравнения получаем a + c = 416. Здесь у нас много возможных троек натуральных чисел (a, b, c), удовлетворяющих условию. Например, (1, 0, 415), (2, 0, 414), (3, 0, 413) и так далее.

2. 1 + b + bc = 2 и a + c = 208 Из первого уравнения получаем b + bc = 1, и единственным натуральным решением этого уравнения является b = 1, c = 0. Из второго уравнения получаем a + c = 208, откуда a = 208. Таким образом, имеется одна тройка (208, 1, 0).

3. 1 + b + bc = 4 и a + c = 104 Здесь также можно найти только одну тройку (104, 3, 0).

4. 1 + b + bc = 8 и a + c = 52 Аналогично, единственная тройка (52, 7, 0)