Question

Обчислити за допомогою диференціала значення функції y=∛x, при x=8,1.

Answer 1

Формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала имеет вид:
f(x₀+Δx)≈f(x₀)+d[f(x₀)]
По условию задания имеем функцию f(x)=∛x, необходимо вычислить приближённое значение f(8,1)=∛8,1.
Число 8,1 представим в виде 8+0,1, то есть х₀=8 Δх=0,1.
Вычислим значение функции в точке х₀=8
f(8)=∛8=2
Дифференциал в точке находится по формуле
d[f(x₀)]=f'(x₀)*Δx
Находим производную функции f(x)=∛x
f'(x)=(∛x)'= $(x^{ \frac{1}{3} })'= \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3} }= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }$
найдём её значение в точке х₀=8
f'(8)= $\frac{1}{3 \sqrt[3]{8^2} }= \frac{1}{12}=0,0833$
d[f(8)]=0,0833*0,1=0,0083
Подставляем найденные значения в формулу вычисления с помощью дифференциала и получаем
f(8,1)=∛8,1≈2+0,0083=2,0083

Answer 2

Щоб обчислити значення функції y = ∛x за допомогою диференціала, спочатку необхідно знайти похідну цієї функції.

За правилом диференціювання функції y = x^n, де n є дійсним числом, ми маємо:

(dy/dx) = n * x^(n-1)

У нашому випадку, y = ∛x, що можна записати як y = x^(1/3). Тому, застосувавши формулу для похідної, отримуємо:

(dy/dx) = (1/3) * x^(-2/3)

Тепер, коли ми маємо похідну функції, можемо обчислити її значення при x = 8,1.

(dy/dx) = (1/3) * (8.1)^(-2/3)

Підставляємо x = 8,1 у формулу:

(dy/dx) = (1/3) * (8.1)^(-2/3) ≈ 0.123

Таким чином, значення похідної функції при x = 8,1 дорівнює близько 0.123.