Question

Найти производное (x^2+1) ^3√x^2

Answer 1

Вроде бы так... Если не так пиши. Я заново решу...

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = (x^2+1)^{\frac{1}{3}} \cdot x^2$, воспользуемся правилом производной произведения.

Применим правило производной произведения для функций $u(x) = (x^2+1)^{\frac{1}{3}}$ и $v(x) = x^2$:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Для вычисления производной функции $u(x)$, применим правило цепной дифференциации (chain rule). Обозначим $w(x) = x^2 + 1$:

$u'(x) = \frac{1}{3} \cdot w(x)^{-\frac{2}{3}} \cdot w'(x)$

Теперь найдем производную функции $w(x)$:

$w'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

Подставляя значения производных обратно в формулу для $f'(x)$, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^2 + 1)^{\frac{-2}{3}} \cdot 2x \cdot x^2 + (x^2+1)^{\frac{1}{3}} \cdot 2x$

Упростим это выражение:

$f'(x) = \frac{2x^3}{3(x^2+1)^{\frac{2}{3}}} + 2x \cdot (x^2+1)^{\frac{1}{3}}$

Это является производной функции $f(x) = (x^2+1)^{\frac{1}{3}} \cdot x^2$.