Question

Вокруг круглого озера через разные промежутки времени растут 2019 деревьев-1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдётся дерево, рядом с которым растет сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.

Answer 1

Ответ:

Обойдём озеро по кругу и напишем на деревьях буквы: А, Б, В, затем снова А, Б, В и так далее.

Деревьев с каждой буквой будет по 2019 : 3 = 673. Если

бы сосен с каждой буквой было бы не более чем 336, то

их всего было бы не более чем 336 · 3 = 1008. А так как

их 1009, то сосен с какой-то буквой (скажем, А) будет

хотя бы 337. (Такое рассуждение часто встречается в решениях математических задач и называется принципом

Дирихле.) Рассмотрим теперь только деревья с буквой А.

Если какие-то две сосны стоят подряд, то задача решена —

дерево с буквой В между ними удовлетворяет условиям.

Если же между каждыми соседними соснами с буквой А

растёт хотя бы по одной ёлке, то деревьев с буквой А будет

не менее чем 337 · 2 = 674, а это не так.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию, в которой все деревья размещены вокруг озера без каких-либо повторений. Предположим, что нет дерева, удовлетворяющего условию задачи.

Разместим все деревья в порядке их появления вокруг озера. Будем обозначать сосны буквой "C" и ели буквой "Е". Представим, что мы прошлись вокруг озера, начиная с произвольной точки, и построили последовательность деревьев.

Пусть у нас есть последовательность "CC...CЕС...СЕ", где "С" - сосна, "Е" - ель. Эта последовательность образуется, если построить деревья вокруг озера, начиная с произвольной точки, двигаясь по часовой стрелке. При этом между двумя соснами всегда находится четное количество деревьев (включая сами сосны).

Теперь рассмотрим последовательность "CC...CЕС...С", где "С" - сосна, "Е" - ель. Эта последовательность также образуется при построении деревьев вокруг озера, начиная с произвольной точки, двигаясь по часовой стрелке. В этой последовательности между двумя соснами находится нечетное количество деревьев.

Таким образом, мы получаем две разные последовательности деревьев, которые могут образоваться при их размещении вокруг озера. В одной из этих последовательностей между двумя соснами будет четное количество деревьев, а в другой - нечетное количество деревьев.

Но в задаче сказано, что растут 2019 деревьев, включая 1009 сосен и 1010 елок. Число 2019 - нечетное. Значит, в любой последовательности, где есть и сосны, и ели, между двумя соснами будет нечетное количество деревьев.

Это противоречит нашему предположению, что нет дерева, удовлетворяющего условию задачи. Следовательно, обязательно найдется дерево, рядом с которым растет сосна, и с другой стороны от которого через одно дерево также растет сосна.