Question

Докажите что трехзначное число записано тремя одинаковыми цифрами кратно 37

Answer 1

Ааа=а(100+10+1)=111а=3*37а
что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим все трехзначные числа, состоящие из трех одинаковых цифр.

Предположим, что трехзначное число записано тремя одинаковыми цифрами, например, "AAA", где A - это цифра от 1 до 9. Чтобы проверить, кратно ли такое число 37, нам нужно вычислить остаток от деления на 37.

Выразим трехзначное число "AAA" в десятичной системе счисления:

AAA = 111A

Теперь выразим это число через сумму степеней числа 10:

AAA = 100A + 10A + A = 111A

Теперь мы можем применить общую формулу для нахождения остатка от деления на 37:

AAA % 37 = (100A + 10A + A) % 37

Разложим каждое слагаемое на остатки от деления на 37:

AAA % 37 = (100A % 37 + 10A % 37 + A % 37) % 37

Так как 100 % 37 = 26, 10 % 37 = 10, а A % 37 = A, получаем:

AAA % 37 = (26A + 10A + A) % 37

AAA % 37 = (37A) % 37

Так как 37A делится на 37 без остатка, получаем:

AAA % 37 = 0

Таким образом, любое трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37.

Приведенное выше доказательство показывает, что если трехзначное число состоит из одной цифры, повторенной три раза, то оно обязательно будет кратно 37.