Question

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается боковых сторон AB и AC в точках соответственно M и N, а основание - в точке K. Найдите AM и BK, если AB=25 см, BC=14 см.

Answer 1

Ответ: AM=18 см, BK=7 см.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а длина стороны треугольника BC равна a.

Так как треугольник ABC является равнобедренным, то AM является медианой и высотой, и они перпендикулярны друг другу. Кроме того, точка M является серединой стороны BC. Поэтому, AM является половиной высоты треугольника, и она равна половине длины биссектрисы BM.

Из свойств вписанной окружности следует, что биссектрисы треугольника ABC делят основание на отрезки, пропорциональные соответствующим сторонам треугольника. То есть:

BM / MC = AB / AC

Подставим известные значения:

BM / MC = 25 / 14

Так как точка M является серединой стороны BC, то BM = MC. Поэтому:

BM^2 = MC^2 = (BC / 2)^2

(BC / 2)^2 = 14^2 / 4 = 49

BM = MC = sqrt(49) = 7 см

Теперь мы можем найти AM, используя тот факт, что AM = BM / 2:

AM = 7 / 2 = 3.5 см

Теперь рассмотрим треугольник ABK. По свойству касания окружности, отрезки AM и BK являются перпендикулярными.

По теореме Пифагора в треугольнике ABK:

AK^2 = AB^2 - BK^2

Так как AB = 25 см и BC = 14 см, то AK = BC / 2 = 7 см.

Подставим значения и найдем BK:

AK^2 = AB^2 - BK^2

7^2 = 25^2 - BK^2

49 = 625 - BK^2

BK^2 = 625 - 49

BK^2 = 576

BK = sqrt(576) = 24 см

Таким образом, AM = 3.5 см и BK = 24 см.