Question

1)Выполнить действие (1 + (i √(3))) / (1 - (i √(3))) 2)Разложить на комплексные множители a^2+b^2 a^2+4 a+b 5+9 4m^2+9n^2 a+1

Answer 1

$1) \ \frac{1+i \sqrt{3} }{1-i \sqrt{3} } =\frac{(1+i \sqrt{3})(1+i \sqrt{3} ) }{(1-i \sqrt{3} )(1+i \sqrt{3}) } = \frac{(1+i \sqrt{3} )^2}{1^2-(i \sqrt{3})^2 }= \frac{1+2i \sqrt{3}-3 }{1+ 3}= \frac{-2+2i \sqrt{3} }{4} = \\ \\ =- \frac{2}{4}+ i\frac{2 \sqrt{3} }{4} =- \frac{1}{2} +i \frac{ \sqrt{3} }{2}$

$2) \ a^2+b^2=a^2-i^2b^2=(a-ib)(a+ib) \\ \\ a^2+4=a^2-i^2 4=(a-2i)(a+2i) \\ \\a+b= ( \sqrt{a})^2 -i^2 (\sqrt{b} )^2=(\sqrt{a}-i\sqrt{b})(\sqrt{a}+i\sqrt{b}) \\ \\ 5+9=( \sqrt{5} )^2-i^2 3^2=(\sqrt{5}-3i)(\sqrt{5}+3i) \\ \\ 4m^2+9n^2=(2m)^2-i^2(3n)^2=(2m-3in)(2m+3ni) \\ \\ a+1=( \sqrt{a} )^2-i^2=(\sqrt{a}-i)(\sqrt{a}+i)$

Answer 2

1. Для выполнения данного действия, нам понадобится использовать комплексно-сопряженные числа. Давайте посчитаем:

(1 + (i√3)) / (1 - (i√3))

Чтобы упростить это выражение, мы можем умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе. Комплексно-сопряженное значение i√3 равно -i√3. После этого умножения мы получим:

[(1 + (i√3)) * (-i√3)] / [(1 - (i√3)) * (-i√3)]

Раскроем скобки и упростим:

[-i√3 - 3] / [-i√3 + 3]

Далее, чтобы избавиться от комплексных чисел в знаменателе, мы можем умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя, получая:

[(-i√3 - 3) * (i√3 + 3)] / [(-i√3 + 3) * (i√3 + 3)]

Упростим:

[-3i√3 + 3i√3 - 9√3 - 9] / [-3i√3 + 3i√3 - 9√3 + 9]

Теперь у нас есть равенство:

[-9√3 - 9] / [-9√3 + 9]

Мы можем сократить на -9 в числителе и знаменателе:

[√3 + 1] / [√3 - 1]

Это окончательный результат.

2. Разложение на комплексные множители выражения a^2 + b^2 может быть выполнено следующим образом:

a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)

Это является результатом применения формулы разности квадратов. Здесь a и b являются вещественными числами.

Разложение выражения a^2 + 4a + b выглядит следующим образом:

a^2 + 4a + b = (a + 2 + bi)(a + 2 - bi)

Здесь мы добавляем 2 к выражению a, чтобы создать коэффициент 4 второго члена.

Выражение 5 + 9 не может быть разложено на комплексные множители, так как это просто сумма двух вещественных чисел.

Разложение выражения 4m^2 + 9n^2 выглядит следующим образом:

4m^2 + 9n^