Question

Найдите корень уравнения {2}^{{\text{log}}_{\text{16}}\left(3x-9\right)}=3

Answer 1

ОДЗ
3x-9>0
x>3

Если правильно поняла твою запись
$2^{\log_{16}(3x-9)}=3\\\\2^{\log_{16}(3x-9)}=2^{\log_23} \\\\ \log_{16}(3x-9)}=\log_23\\\\\log_{16}(3x-9)}=\log_{2^4}3^4\\\\\log_{16}(3x-9)}=\log_{16}81\\\\3x-9=81\\\\x=30$

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала приведем его к эквивалентному виду, избавившись от логарифма. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов:

{2}^{{\text{log}}_{\text{16}}\left(3x-9\right)} = 3

Применим логарифм с основанием 16 к обеим частям уравнения:

{\text{log}}{16}\left({2}^{{\text{log}}{\text{16}}\left(3x-9\right)}}\right) = {\text{log}}_{16}(3)

Теперь применим свойство логарифма \log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b):

{\text{log}}{16}\left(3x-9\right) \cdot {\text{log}}{16}(2) = {\text{log}}_{16}(3)

Далее, применим свойство логарифма \log_a(a^b) = b:

3x-9 = 16^{{\text{log}}_{16}(3)}

Так как \log_{16}(16) = 1, то 16^{\log_{16}(3)} = 3, следовательно:

3x-9 = 3

Теперь решим полученное линейное уравнение:

3x = 3 + 9

3x = 12

x = 4

Итак, корнем уравнения является x = 4.