Question

Доведіть що трикутник з вершинами в точках А(4;0;8) В(3;-3;11) С (7;4;13) - прямокутний

Answer 1

А(4;0;8) В(3;-3;11) С (7;4;13).
Для того, чтобы определить является ли треугольник прямоугольным, нужно: 
1) вычислить длины сторон треугольника;
2) проверить, выполняется ли условие т.Пифагора.
1) |AB|=√((3-4)²+(-3-0)²+(11-8)²)=√((-1)²+(-3)²+3²)=√(1+9+9)=√19;
|BC|=√((7-3)²+(4+3)²+(13-11)²)=√(4²+7²+2²)=√(16+49+4)=√69;
|AC|=√((7-4)²+(4-0)²+(13-8)²)=√(3²+4²+5²)=√(9+16+25)=√50=5√2.
2) Так как у прямоугольного треугольника гипотенузой является большая сторона, предположим, что ВС - гипотенуза, тогда АВ и АС - катеты. Проверим выполнение т.Пифагора:
ВС²=АВ²+АС².
(√19)²+(√50)²=19+50=69=ВС²⇒ВС=√69.
Ответ: треугольник прямоугольный. 

Answer 2

Щоб довести, що трикутник ABC є прямокутним, ми можемо перевірити, чи перпендикулярні між собою два вектори, що утворюють його сторони. Якщо ці вектори є перпендикулярними, то трикутник буде прямокутним.

Ми можемо скористатися властивістю векторного добутку, яка говорить, що векторний добуток двох векторів дорівнює нульовому вектору, якщо ці вектори є перпендикулярними.

Спочатку знайдемо два вектори, AB і AC:

Вектор AB = B - A = (3, -3, 11) - (4, 0, 8) = (-1, -3, 3) Вектор AC = C - A = (7, 4, 13) - (4, 0, 8) = (3, 4, 5)

Тепер обчислимо векторний добуток цих векторів:

AB x AC = (-1, -3, 3) x (3, 4, 5)

Для обчислення векторного добутку використовуємо формулу: (x₁, y₁, z₁) x (x₂, y₂, z₂) = (y₁z₂ - y₂z₁, z₁x₂ - z₂x₁, x₁y₂ - x₂y₁)

AB x AC = (-15 - (-3)4, -33 - 5(-1), -14 - 3(-3)) = (-5 + 12, -9 + 5, -4 - (-9)) = (7, -4, 5)

Якщо векторний добуток AB x AC дорівнює нульовому вектору (0, 0, 0), то це означає, що вектори AB і AC є перпендикулярними.

Оскільки AB x AC = (7, -4, 5) ≠ (0, 0, 0), то вектори AB і AC не є перпендикулярними. Тому трикутник ABC не є прямокутним.