Question

Найдите точки экстремума и монотонности функции f(x)=x³+3x²-8​

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума и определить монотонность функции f(x) = x³ + 3x² - 8, сначала найдем ее производную. Затем решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума, и проанализируем знак производной в интервалах между точками экстремума, чтобы определить монотонность.

Производная функции f(x) равна: f'(x) = 3x² + 6x

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x² + 6x = 0

Факторизуем: 3x(x + 2) = 0

Таким образом, получаем две возможные точки экстремума: x₁ = 0 и x₂ = -2

Теперь проанализируем знак производной f'(x) в интервалах между точками экстремума и на самых крайних концах числовой прямой.

Выберем тестовые точки в каждом интервале и проверим знак производной:

• Берем x < -2, например, x = -3: f'(-3) = 3(-3)² + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0

• Берем -2 < x < 0, например, x = -1: f'(-1) = 3(-1)² + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0

• Берем x > 0, например, x = 1: f'(1) = 3(1)² + 6(1) = 3 + 6 = 9 > 0

Таким образом, мы получаем следующую информацию о функции f(x):

1. Функция имеет локальный минимум в точке x₁ = 0.
2. Функция имеет локальный максимум в точке x₂ = -2.
3. Функция монотонно возрастает на интервале (-∞, -2).
4. Функция монотонно убывает на интервале (-2, 0).
5. Функция монотонно возрастает на интервале (0, +∞).

Надеюсь, эта информация полезна!