Question

У Ника есть 5 гирь весом 2 кг 3 кг 4 кг 5 кг 6 кг. он хочет добавить к ним ещё одну гирю так чтобы эти шесть гирь можно было разбить на три группы равного веса. Сколькими способами можно это сделать?

Answer 1

Пусть добавили гирю массой m кг. Тогда их общая масса:
2+3+4+5+6+m=20+m
Так как все эти гири должны быть разделены на 3 группы поровну, то число (20+m) должно делиться на 3. Это возможно, когда m при делении на 3 дает остаток 1:
m=1: сумма 21 кг, группа по 7 кг, разбиение (1, 6) (2, 5) (3, 4)
m=4: сумма 24 кг, группа по 8 кг, разбиение (2, 6) (3, 5) (4, 4)
m=7: сумма 27 кг, группа по 9 кг, разбиение (3, 6) (4, 5) (2, 7)
m=10: сумма 30 кг, группа по 10 кг, разбиение (2, 3, 5) (4, 6) (10)
m=13: сумма 33 кг, группа по 11 кг, разбиение невозможно, так как масса одной из гирь (13 кг) больше массы одной группы (11 кг), Дальнейшая проверка чисел m приведет к таким же выводам.
Итого 4 способа.
Ответ: 4 способа

Answer 2

Чтобы разбить шесть гирь на три группы равного веса, общий вес всех гирь должен быть кратным трём. В данном случае, сумма весов всех шести гирь равна 20 кг (2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20). Значит, необходимо добавить гири весом 1 кг (3 × 7 = 21) или 2 кг (3 × 8 = 24), чтобы общий вес был кратным трём.

Давайте рассмотрим оба случая:

1. Добавляем гирю весом 1 кг: Теперь у нас есть семь гирь: 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 1 кг, 1 кг. Перестановок этих гирь можно рассчитать с помощью формулы сочетаний с повторениями: C(n + r - 1, r), где n - число объектов, r - число ячеек, на которые разбиваются объекты. В нашем случае, n = 7 (6 существующих гирь + 1 добавленная), r = 3 (три группы). C(7 + 3 - 1, 3) = C(9, 3) = 84. Таким образом, можно сделать 84 различных способа разбить гири на три группы равного веса.

2. Добавляем гирю весом 2 кг: Теперь у нас есть восемь гирь: 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 2 кг, 2 кг. Аналогично, используем формулу сочетаний с повторениями: C(8 + 3 - 1, 3) = C(10, 3) = 120. Таким образом, можно сделать 120 различных способов разбить гири на три группы равного веса.

Итак, ответ: существует 84 + 120 = 204 различных способа разбить шесть гирь на три группы равного веса, если добавлять гирю весом 1 кг или 2 кг соответственно.