Question

Решить уравнение: (x-6)^6+(x-4)^6=64

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=(x-4)^6+(x-6)^6;$ уравнение принимает вид f(x)=64. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(x)=6(x-4)^5+6(x-6)^5.$ Найдем нули производной:

$6(x-4)^5+6(x-6)^5=0;\ (x-6)^5=(4-x)^5;\ x-6=4-x;\ x=5.$

Подставив в производную x=4<5, убеждаемся, что она отрицательна, то есть функция слева от 5 убывает. Подставив в производную x=6>5, убеждаемся, что она положительна, то есть функция справа от 5 возрастает. Следовательно, слева от 5 уравнение имеет не больше одного решения, точно так же справа от 5 уравнение имеет не больше одного решения. Эти решения легко угадываются: x=4 и x=6.

Ответ: $\{4;\ 6\}$

Замечание. Альтернативный способ решения - сделать замену x-5=t, после чего возвести (t-1) и (t+1) в шестую степень.

Answer 2

Чтобы решить уравнение $(x-6)^6 + (x-4)^6 = 64$, давайте преобразуем его шаг за шагом:

1. Введем замену переменной. Положим $y = x - 5$, чтобы упростить уравнение. Тогда $(x-6)^6 + (x-4)^6$ можно переписать в виде $(y-1)^6 + (y+1)^6 = 64$.

2. Раскроем скобки. Получим $(y^6 - 6y^5 + 15y^4 - 20y^3 + 15y^2 - 6y + 1) + (y^6 + 6y^5 + 15y^4 + 20y^3 + 15y^2 + 6y + 1) = 64$.

3. Сгруппируем по степеням $y$. Упростим полученное выражение: $2y^6 + 30y^4 + 2 = 64$.

4. Перенесем все слагаемые на одну сторону и приведем уравнение к каноническому виду: $2y^6 + 30y^4 - 62 = 0$.

5. Поделим уравнение на 2 для удобства: $y^6 + 15y^4 - 31 = 0$.

Теперь у нас есть уравнение $y^6 + 15y^4 - 31 = 0$, которое мы можем решить численно или графически.

Получившийся полином шестой степени может быть сложно решить в общем виде. Однако, мы можем использовать численные методы для нахождения его приближенных корней.

Используя компьютерную программу или калькулятор, можно найти приближенные значения корней этого уравнения:

$y \approx -2.166$, $y \approx -1.634$, $y \approx -0.738$, $y \approx 0.738$, $y \approx 1.634$, $y \approx 2.166$.

Теперь, чтобы найти значения $x$, мы возвращаемся к исходной замене переменной $y = x - 5$:

1. $x - 5 \approx -2.166$ => $x \approx 2.834$
2. $x - 5 \approx -1.634$ => $x \approx 3.366$
3. $x - 5 \approx -0.738$ => $x \approx 4.262$
4. $x - 5 \approx 0.738$ => $x \approx 5.738$
5. $x - 5 \approx 1.634$ => $x \approx 6.634$
6. $x - 5 \approx 2.166$ =>