Question

Найти производную функции у= sin^6 (10x) + cos^6 (10x)

Answer 1

Первый способ - без упрощения.
y'=6*sin⁵10x*cos10x * 10 + 6*cos⁵10x*(-sin10x)*10 = 
60sin⁵10x*cos10x - 60cos⁵10x*sin10x.

 Можно упростить y=(sin²10x+cos²10x)(sin⁴10x-sin²10x*cos²10x+cos⁴10x) = 
1*(sin⁴10x+2sin²10x*cos²10x+cos⁴10x -3sin²10x*cos²10x) = 
=(sin²10x+cos²10x)²-3* 1/4*4sin²10x*cos²10x=
1-3/4*(sin20x)².
y' = 0-3/4 * 2 sin20x*cos20x *20 = -15sin40x. Вроде бы так.

Answer 2

Для нахождения производной функции у = sin^6(10x) + cos^6(10x) воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Применим правило дифференцирования сложной функции к каждому слагаемому по отдельности.

Пусть функция f(u) = u^6, где u = sin(10x). Производная функции f(u) по u равна f'(u) = 6u^5.

Производная слагаемого sin^6(10x) будет равна: dy/dx = d/dx(sin^6(10x)) = 6(sin(10x))^5 * (d/dx(sin(10x))) = 6(sin(10x))^5 * (cos(10x)) * (d/dx(10x)) = 60(sin(10x))^5 * cos(10x)

Аналогично, пусть функция g(v) = v^6, где v = cos(10x). Производная функции g(v) по v равна g'(v) = 6v^5.

Производная слагаемого cos^6(10x) будет равна: dy/dx = d/dx(cos^6(10x)) = 6(cos(10x))^5 * (d/dx(cos(10x))) = 6(cos(10x))^5 * (-sin(10x)) * (d/dx(10x)) = -60(cos(10x))^5 * sin(10x)

Теперь найденные производные слагаемых можно сложить, чтобы получить производную исходной функции: dy/dx = 60(sin(10x))^5 * cos(10x) - 60(cos(10x))^5 * sin(10x)

Таким образом, производная функции у = sin^6(10x) + cos^6(10x) равна 60(sin(10x))^5 * cos(10x) - 60(cos(10x))^5 * sin(10x).