Question

а) Решите уравнение 4(^x)-2(^x+3)+7=0(в скобках степень) б) укажите корни этого уравнения принадл отрезку [1:4]

Answer 1

$4^{x}-2^{x+3}+7=0; 2^{2x}-2^{x+3}+7=0; 2^{2x}-8*2^{x}+7=0;$

Обозначим $2^{x}$ за t, t>0 и уравнение примет вид:

$t^{2}-8t+7=0$

Решая его, получим что $t=1$ или $t=7$.

Выполним обратную подстановку:

$2^{x}=1$ или $2^{x}=7$

$x=0$ или $x=log_27$

Из этих двух корней отрезку принадлежит только $x=log_27$

Answer 2

Для решения уравнения 4^(x) - 2^(x+3) + 7 = 0, мы можем ввести замену, чтобы упростить его. Обозначим y = 2^(x). Тогда уравнение примет вид:

4y - 2(y^2) + 7 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно y. Приведем его к стандартному виду:

-2y^2 + 4y + 7 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта. Выберем формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac,

где a = -2, b = 4 и c = 7.

D = (4)^2 - 4(-2)(7) = 16 + 56 = 72.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Формула для нахождения корней будет следующей:

y = (-b ± √D) / (2a).

y = (-(4) ± √72) / (2(-2)).

y = (-4 ± √72) / (-4).

y = (4 ± √72) / 4.

Теперь мы можем найти значения y:

y₁ = (4 + √72) / 4 ≈ 3.54.

y₂ = (4 - √72) / 4 ≈ -0.04.

Теперь восстановим значение x с помощью обратной замены:

y = 2^(x).

Для y₁: 3.54 = 2^(x).

Для y₂: -0.04 = 2^(x).

Теперь решим каждое из этих уравнений, чтобы найти значения x.

а) Для уравнения 2^(x) = 3.54:

x = log₂(3.54) ≈ 1.84.

б) Для уравнения 2^(x) = -0.04:

Это уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел, так как 2^(x) всегда положительно.

Таким образом, корень уравнения 4^(x) - 2^(x+3) + 7 = 0 на отрезке [1:4] равен x = 1.84.