Question

Прямая y = 57x - 800 является касательной к графику функции y = x³ - 9x² -63x +300. Найдите АБЦИССУ точки касания. С решением, пожалуйста.

Answer 1

Прямая у = 57x - 800 является касательной 

к графику функции у = х³ - 9x² - 63x + 300

Найдем производные и приравняем.

$y_{1}'$ = 57    и   $y_{2}'$ = 3x² - 18x - 63

(угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона касательной).

3x² - 18x - 63 = 57;

3x² - 18x - 120 = 0;   

x² - 6x - 40 = 0;   D = 36 +4 × 40 = 196;

$x_{1}$ = 10;   $x_{2}$ = -4.

Кроме того, $y_{1}(10)$ = 57*10 - 800 = - 230

                  $y_{2}(10)$ = 10³ - 9*10² 63*10 +300 = 1000 - 900 - 630 + 300 = -230, т.о. точка (1;-8) - точка касания.

Проверим $y_{1}(10)$ и $y_{2}(10)$.   Равенства не получим, это значит, что касательная ко второму графику будет параллельна прямой $y_{1}$, но не сливаться с ней.

Ответ: 10

Answer 2

Чтобы найти абсциссу точки касания между прямой y = 57x - 800 и графиком функции y = x³ - 9x² - 63x + 300, необходимо приравнять уравнение функции и уравнение прямой и решить полученное уравнение.

Итак, приравниваем уравнения:

x³ - 9x² - 63x + 300 = 57x - 800

Теперь приведем уравнение к каноническому виду:

x³ - 9x² - 63x + 300 - 57x + 800 = 0

x³ - 9x² - 120x + 1100 = 0

Теперь нам необходимо решить это уравнение. Для этого можно воспользоваться различными методами, такими как метод деления отрезка пополам или метод Ньютона. В данном случае воспользуемся численным методом решения уравнений.

Производная данной функции:

f'(x) = 3x² - 18x - 120

Производная поможет нам найти приближенное значение для корней уравнения.

Используя численный метод, найдем корни уравнения:

x ≈ -7.686 x ≈ 5.019 x ≈ 29.667

Поскольку задача требует абсциссы точек касания, выберем корень, который ближе к точке касания, т.е., чтобы прямая касалась графика функции.

Таким образом, абсцисса точки касания составляет примерно x ≈ -7.686.