Question

(1/5)^(x-1)-(1/5)^(x+1)>4,8 решить неравенства

Answer 1

$\left(\frac15\right)^{x-1}-\left(\frac15\right)^{x+1}\ \textgreater \ 4,8\\5\cdot\left(\frac15\right)^x-\frac15\cdot\left(\frac15\right)^x\ \textgreater \ 4,8\\\left(5-\frac15\right)\cdot\left(\frac15\right)^x\ \textgreater \ 4,8\\\frac{24}5\cdot\left(\frac15\right)^x\ \textgreater \ \frac{24}5\\\left(\frac15\right)^x\ \textgreater \ 1\\\left(\frac15\right)^x\ \textgreater \ \left(\frac15\right)^0\\x\ \textless \ 0$

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнём с введения замены. Обозначим $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$. Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

$y^{x-1} - y^{x+1} > 4.8$.

Далее приведём выражение к общему знаменателю:

$y^{x-1} - y^{x+1} = \frac{1}{y^2} \cdot y^x - y^2 \cdot y^x = \frac{1 - y^4}{y^2} \cdot y^x$.

Теперь полученное выражение приведено к одной переменной $y$. Для решения неравенства необходимо проанализировать поведение выражения $\frac{1 - y^4}{y^2}$ и найти интервалы, где оно больше $\frac{4.8}{y^x}$.

Разберём два случая:

1. Когда $y > 0$: В этом случае выражение $\frac{1 - y^4}{y^2}$ всегда будет положительным или равным нулю. Таким образом, неравенство сводится к следующему виду:

   $y^x > \frac{4.8}{\frac{1 - y^4}{y^2}}$, $y^x > \frac{4.8 \cdot y^2}{1 - y^4}$.

   Поскольку $y > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $(1 - y^4)$ без изменения направления неравенства:

   $y^x \cdot (1 - y^4) > 4.8 \cdot y^2$, $y^x - y^{x+4} > 4.8 \cdot y^2$.

   Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

   $y^x - y^{x+4} - 4.8 \cdot y^2 > 0$.

2. Когда $y = 0$: В этом случае неравенство становится неопределённым, так как мы не можем разделить на $y^2$.

Таким образом, получаем неравенство $y^x - y^{x+4} - 4.8 \cdot y^2 > 0$ при условии $y > 0$. Для дальнейшего решения данного неравенства необходимо знать значения $x$ и $y$, чтобы выразить $y$ через $x$ и найти интервалы, в которых это неравенство выполняется.