Question

Как трактовали древние ученые правила умножения отрицательных и положительных чисел?

Answer 1

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании) , они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. 

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача) , или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. 

В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными» , «мнимыми» или «абсурдными» . Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год) , который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0-4=0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус) , хотя алгебраически это совершенно разные понятия. 

В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно») . Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей) . 


Когда и где появились отрицательные числа? Ни египтяне, ни вавилоняне, ни даже древние греки чисел этих не знали. Впервые с отрицательными числами столкнулись китайские ученые (2в. До н. э. ) в связи с решением уравнений. Однако знаки «+» или «-« тогда не употреблялись, а изображали положительные числа красным цветом, а отрицательные — черным, называя их «фу» . Индийские математики Брахмагупта (7в. ) и Бхаскара (8в. ) с помощью положительных чисел выражали «имущество» , а с помощью отрицательных — «долг» . Они составили правило действия для этих чисел. Однако долгое время отрицательные числа считали ненастоящими, фиктивными, абсурдными. Даже Бхаскара, который пользовался этими числами, писал: «Люди не одобряют отрицательных чисел» . 

В Европе к отрицательным числам в 8 веке обращается итальянский математик Леонардо Фибоначчи, но в учении об отрицательных числах значительно далее продвинулся М. Штифель (16в.) . Отрицательные числа он называл как «лишнее, чем ничто» и говорил, что «нуль находится между истинными и абсурдными числами» . И только после работ выдающегося ученого Рене Декарта (17в. ) и других ученых 17-18в. в. отрицательные числа приобрели «права гражданства»

Answer 2

Древние ученые имели разные трактовки правил умножения отрицательных и положительных чисел, и эти трактовки различались в различных культурах и временных периодах. Вот некоторые из них:

1. Правило знаков: Одна из наиболее распространенных интерпретаций гласит, что при умножении двух чисел, одно из которых положительное, а другое отрицательное, произведение будет иметь отрицательный знак. Если же оба числа имеют одинаковый знак (положительный или отрицательный), то произведение будет иметь положительный знак. Например, (-2) * 4 = -8, а (-2) * (-4) = 8.

2. Геометрическая интерпретация: В геометрической интерпретации умножение чисел связано с понятием направления. Положительные числа интерпретируются как движение вперед, а отрицательные числа — как движение назад. Умножение чисел в такой интерпретации может быть связано с понятием поворота или изменения масштаба. Например, (-2) * 4 может интерпретироваться как поворот на 180 градусов вокруг начала координат, что приводит к отрицательному результату.

3. Алгебраическая интерпретация: В алгебраической интерпретации умножение отрицательных чисел основано на алгебраических свойствах и правилах, таких как свойство дистрибутивности и правило знаков. В этой интерпретации отрицательные числа рассматриваются как расширение системы натуральных чисел, чтобы решить уравнения, которые были неразрешимы в натуральных числах. Применение этих правил приводит к результатам, которые соответствуют правилу знаков.

Важно отметить, что разные культуры и ученые могли иметь разные подходы к интерпретации правил умножения отрицательных и положительных чисел. С развитием математики и алгебры с течением времени, эти правила были формализованы и стандартизированы, чтобы обеспечить единое понимание умножения отрицательных и положительных чисел.