Question

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Answer 1

Да остается потому что двенадцать делится на 4 и остаток 3 только это будет нечетное число

Answer 2

Да, существует такое натуральное число. Для того чтобы найти его, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Китайская теорема об остатках утверждает, что если заданы различные положительные целые числа n₁, n₂, ..., nₖ, и даны произвольные целые числа a₁, a₂, ..., aₖ, то существует единственное целое число x, такое что:

x ≡ a₁ (mod n₁) x ≡ a₂ (mod n₂) ... x ≡ aₖ (mod nₖ)

В данном случае, нам нужно найти число x, которое удовлетворяет следующим условиям:

x ≡ 1 (mod 8) x ≡ 3 (mod 12)

Применяя китайскую теорему об остатках, получаем:

x ≡ 1 (mod 8) x ≡ 3 (mod 12)

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться алгоритмом нахождения обратного элемента по модулю. В данном случае, решением будет число x = 25. Проверим:

25 ≡ 1 (mod 8) 25 ≡ 3 (mod 12)

Таким образом, число 25 удовлетворяет условиям и является искомым натуральным числом.