Question

Как решить ур-е 4sin^2 x+8cosx-7=0

Answer 1

$4\sin^2x+8\cos x-7=0\\4(1-\cos^2x)+8\cos x-7=0\\4-4\cos^2x+8\cos x-7=0\\-4\cos^2x+8\cos x-3=0\\4\cos^2x-8\cos x+3=0\\\cos x=t,\;\cos^2x=t^2,\;t\in[-1;\;1]\\\\4t^2-8t+3=0\\D=64-4\cdot4\cdot3=64-48=16\\t_{1,2}=\frac{8\pm4}8\\t_1=\frac12\\t_2=\frac32\;-\;He\;nogx.\\\\\cos x=\frac12\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2 x + 8cos x - 7 = 0, можно использовать тригонометрические тождества и преобразования. Давайте решим его шаг за шагом:

1. Преобразуем уравнение, используя тождество sin^2 x + cos^2 x = 1: 4(1 - cos^2 x) + 8cos x - 7 = 0

2. Распишем уравнение: 4 - 4cos^2 x + 8cos x - 7 = 0

3. Перенесем все члены в левую часть уравнения: -4cos^2 x + 8cos x - 3 = 0

4. Умножим всё уравнение на -1, чтобы коэффициент перед первым членом был положительным: 4cos^2 x - 8cos x + 3 = 0

5. Раскроем скобки и упростим: (2cos x - 1)(2cos x - 3) = 0

6. Теперь у нас есть два множителя, которые могут равняться нулю: 2cos x - 1 = 0 или 2cos x - 3 = 0

7. Решим первое уравнение: 2cos x - 1 = 0 2cos x = 1 cos x = 1/2

   Из таблицы значений тригонометрических функций или с помощью калькулятора найдем значения углов, при которых cos x равен 1/2. Один из таких углов это 60 градусов (или pi/3 радиан).

8. Решим второе уравнение: 2cos x - 3 = 0 2cos x = 3 cos x = 3/2

   Здесь мы замечаем, что значение cos x больше 1, что невозможно. Таким образом, это уравнение не имеет решений.

Итак, решение уравнения 4sin^2 x + 8cos x - 7 = 0: x = 60 градусов (или x = pi/3 радиан).