Question

при каких значениях параметра а корни уравнения х^3-12х^2+ах-28=0 образуют арифметическую прогрессию?

Answer 1

Х^2+(1-а) х=0 
х=-2, а=-1 
х=2, а =3 
а принадлежит промежутку [-1;3)

Answer 2

Для того чтобы корни уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$ образовывали арифметическую прогрессию, должны выполняться определенные условия. Давайте рассмотрим это подробнее.

Пусть корни уравнения будут $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Если эти корни образуют арифметическую прогрессию, то мы можем записать: $x_2 - x_1 = x_3 - x_2.$

Для уравнения третьей степени, где $a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$, сумма корней равна коэффициенту при $x^2$ с обратным знаком, деленному на коэффициент при $x^3$ с обратным знаком. В нашем случае: $x_1 + x_2 + x_3 = 12.$

Также, по свойству арифметической прогрессии, средний член равен среднему значению всех корней: $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}.$

Теперь мы можем использовать эти условия, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корни образуют арифметическую прогрессию.

Подставим $x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$ в $x_2 - x_1 = x_3 - x_2$: $\frac{x_1 + x_3}{2} - x_1 = x_3 - \frac{x_1 + x_3}{2}.$

Упростим это уравнение: $\frac{x_3 - x_1}{2} = \frac{x_3 - x_1}{2}.$

Теперь заметим, что уравнение будет выполняться для любого значения параметра $a$, так как $a$ не влияет на корни $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Это означает, что при любом $a$ корни уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 28 = 0$ образуют арифметическую прогрессию.