Question

32^n*2+5^n*25 делится на 27

Answer 1

Ответ:

Верно

Пошаговое объяснение:

$32^n*2+5^n*25\equiv5^n*2+5^n*25\:(mod\:27)=5^n*27\equiv0\:(mod\:27)$

Т. е. выражение дает остаток 0 при делении на 27, а значит кратно 27. Верно

________________________________

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для проверки, делится ли выражение $32^n \cdot 2 + 5^n \cdot 25$ на 27, мы можем рассмотреть остатки от деления каждого слагаемого на 27 и проверить их сумму.

Давайте разобьем выражение на два слагаемых:

$A = 32^n \cdot 2$

$B = 5^n \cdot 25$

Сначала рассмотрим слагаемое $A$:

Мы можем заметить, что $32 = 27 + 5$. Поэтому:

$A = (27 + 5)^n \cdot 2$

Мы можем применить бином Ньютона, чтобы разложить $(27 + 5)^n$:

$A = (27^n + \binom{n}{1} \cdot 27^{n-1} \cdot 5 + \binom{n}{2} \cdot 27^{n-2} \cdot 5^2 + \ldots + 5^n) \cdot 2$

Теперь рассмотрим слагаемое $B$:

$B = 5^n \cdot 25 = 5^n \cdot (27 - 2)$

Заметим, что $27$ делится на $27$ без остатка, поэтому мы можем проигнорировать его при рассмотрении остатка от деления на $27$:

$B = -2 \cdot 5^n$

Теперь вернемся к исходному выражению и заменим $A$ и $B$ соответствующими разложениями:

$32^n \cdot 2 + 5^n \cdot 25 = (27^n + \binom{n}{1} \cdot 27^{n-1} \cdot 5 + \binom{n}{2} \cdot 27^{n-2} \cdot 5^2 + \ldots + 5^n) \cdot 2 - 2 \cdot 5^n$

Раскроем скобки:

$32^n \cdot 2 + 5^n \cdot 25 = 2 \cdot 27^n + \binom{n}{1} \cdot 27^{n-1} \cdot 5 + \binom{n}{2} \cdot 27^{n-2} \cdot 5^2 + \ldots + 5^n \cdot 2 - 2 \cdot 5^n$

Теперь мы можем видеть, что все слагаемые, содержащие степени 5 (начиная с $\binom{n}{1} \cdot 27^{n-1} \cdot 5$) сокращаются:

$32^n \cdot 2 + 5^n \cdot 25 = 2 \cdot 27^n - 2 \cdot 5^n$

Заметим, что $2 \cdot 27^n - 2 \cdot 5^n$ можно факторизовать:

$32^n \cdot 2 + 5^n \cdot 25 = 2 \cdot (27^n - 5^n)$

Теперь рассмотрим выражение ((27^n - 5^n