Question

Плоскость альфа через сторону АС треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках M и N соответственно, причём BN:NC=2:3, AM:AB=3:5. Докажите, что MN параллельна альфе. Найдите MN, если АС=30 см.

Answer 1

Так как BN:NC=2:3, то NC:BC = 3:5. и соответственно BN:BC=2:5
та же пропорция и со стороной АВ и точкой M AM:AB=3:5 . MB:AB= 2:5
Соответственно отрезок MN делит боковые стороны треугольника ABC равнопропорционально.
Значит MN//AC//a

так как MN//AC, то MBN подобен треугольнику ABC. Так как боковые стороны имеют соотношение 2:5. то длина MN = AC / 5 * 2 = 30 / 5 * 2 = 12

Answer 2

Для доказательства параллельности прямой MN плоскости α, нам нужно показать, что отношение, в котором прямая MN делит стороны AB и BC треугольника ABC, равно отношению, в котором плоскость α делит эти стороны.

Пусть точка P является пересечением прямой MN и стороны AB, а точка Q является пересечением прямой MN и стороны BC.

Тогда отношение BN:NC равно 2:3, а отношение AM:AB равно 3:5. Мы можем представить эти отношения следующим образом:

BN = 2x, NC = 3x (где x - некоторая положительная константа) AM = 3y, AB = 5y (где y - некоторая положительная константа)

Теперь рассмотрим треугольник APQ. Применим подобие треугольников ABC и APQ.

Из подобия треугольников ABC и APQ мы можем сказать, что отношение, в котором прямая MN делит сторону AB, равно отношению, в котором прямая PQ делит сторону AP.

То есть AP:PB = AM:MB = 3y:(5y - 3y) = 3y:2y = 3:2.

Аналогично, отношение, в котором прямая MN делит сторону BC, равно отношению, в котором прямая PQ делит сторону BQ.

То есть BQ:QC = BN:NC = 2x:3x = 2:3.

Таким образом, отношение, в котором прямая MN делит стороны AB и BC треугольника ABC, равно отношению, в котором прямая PQ делит стороны AP и BQ треугольника APQ.

Это означает, что прямая MN параллельна плоскости α, так как параллельные плоскости сохраняют отношение, в котором они пересекают линии.

Чтобы найти MN, мы можем использовать теорему Талеса для треугольника ABC и прямой MN:

AB/MN = BC/QN

AB = 5y, BC = 30 см и QN = NC - NQ = 3x - 2x = x

Используя соотношение AM:AB = 3:5, мы можем найти значение y:

3/5 = AM/AB = 3y/5y 3/5 = 3/5

Таким образом, y = 1.

Теперь мы можем найти значение x, используя отношение BN:NC = 2:3:

2/3