Question

(cos y- y cosx)dx+(-xsiny-sinx+e^y)dy=0 Найти общее решение Дифференциального уравнения . Спасибо !

Answer 1

$(\cos y\, dx-x\sin y\, dy)-(y\cos x\, dx+\sin x\, dy)+e^{y}\, dy=0;$

$(\cos y\, dx+x\, d\cos y)-(y\, d\sin x+\sin x\, dy)+de^{y}=0;$

$d(x\cos y)-d(y\sin x)+de^{y}=0;$

$>. Ответ:  <img src=$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, нам потребуется использовать метод точного дифференциального уравнения. Для этого проверим, выполняется ли условие точности:

∂(cos y - y cos x)/∂y = -sin y ∂(-x sin y - sin x + e^y)/∂x = -sin y

Условие точности выполняется, так как ∂(cos y - y cos x)/∂y = ∂(-x sin y - sin x + e^y)/∂x.

Теперь найдем функцию F(x, y), частные производные которой равны коэффициентам перед dx и dy:

∂F/∂x = cos y - y cos x ∂F/∂y = -x sin y - sin x + e^y

Проинтегрируем первое уравнение по x, считая y постоянной:

F = ∫(cos y - y cos x)dx = x cos y - y sin x + g(y)

Здесь g(y) - произвольная функция только от y.

Теперь продифференцируем F по y и приравняем к ∂F/∂y:

∂F/∂y = -x sin y - sin x + g'(y) = -x sin y - sin x + e^y

g'(y) = e^y

Проинтегрируем это уравнение по y:

g(y) = ∫e^y dy = e^y + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

F(x, y) = x cos y - y sin x + e^y + C

где C - произвольная постоянная.