Question

Помогите решить Y"-12y'+36y=32cos2x+24sin2x , плиз

Answer 1

ЛНДУ 2 порядка.
1) Решение однородного ур-ния.
y'' - 12y' + 36y = 0
Характеристическое ур-ние
k^2 - 12k + 36 = (k-6)^2 = 0
k1 = k2 = 6; y0 = (C1*x+C2)*e^(6x)
Теперь решаем не однородную часть.
y* = Asin(2x) + Bcos(2x)
y* ' = 2Acos(2x) - 2Bsin(2x)
y* '' = -4Asin(2x) - 4Bcos(2x)
Подставляем в уравнение
y'' - 12y' + 36y = -4Asin(2x) -4Bcos(2x) - 24Acos(2x) + 24Bsin(2x) +
+ 36Asin(2x) + 36Bcos(2x) = 24sin(2x) + 32cos(2x)
Приводим подобные и делим всё на 8:
sin(2x)*(4A+3B) + cos(2x)*(-3A+4B) = 3sin(2x) + 4cos(2x)
Получаем систему:
{ 4A + 3B = 3
{ -3A + 4B = 4
Умножаем 1 ур-ние на 3, а 2 ур-ние на 4.
{ 12A + 9B = 9
{ -12A + 16B = 16
Складываем ур-ния.
25B = 25; B = 1
4A + 3*1 = 3; A = 0
Неоднородная часть
y* = 0*sin(2x)+1*cos(2x) = cos(2x)
Решение:
y(x) = y0 + y* = (C1*x+C2)*e^(6x) + cos(2x)

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, воспользуемся методом вариации постоянных.

Шаг 1: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Y_h'' - 12Y_h' + 36Y_h = 0

Характеристическое уравнение для однородного уравнения имеет вид: r^2 - 12r + 36 = 0

Решим это уравнение, найдя корни: (r - 6)^2 = 0 r = 6 (корень кратности 2)

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: Y_h = (c1 + c2 * x) * e^(6x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения: Y_p = u(x) * cos(2x) + v(x) * sin(2x)

Y_p' = u'(x) * cos(2x) - 2u(x) * sin(2x) + v'(x) * sin(2x) + 2v(x) * cos(2x) Y_p'' = u''(x) * cos(2x) - 4u'(x) * sin(2x) - 4u(x) * cos(2x) + v''(x) * sin(2x) + 4v'(x) * cos(2x) - 4v(x) * sin(2x)

Подставим Y_p в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях:

u''(x) * cos(2x) - 4u'(x) * sin(2x) - 4u(x) * cos(2x) + v''(x) * sin(2x) + 4v'(x) * cos(2x) - 4v(x) * sin(2x) - 12[u'(x) * cos(2x) - 2u(x) * sin(2x) + v'(x) * sin(2x) + 2v(x) * cos(2x)] + 36[u(x) * cos(2x) + v(x) * sin(2x)] = 32cos(2x) + 24sin(2x)

Разделим это уравнение на cos(2x) и sin(2x) и соберем коэффициенты:

[u''(x) - 4u'(x) - 4u(x) - 12u'(x) + 24u(x) + 36u(x)] * cos(2x) + [v''(x) + 4v'(x) - 4v(x) - 12v'(x) - 24v(x) + 36v(x)] * sin(2x) = 32

Сокращаем коэффициенты: u''(x) + 8u'(