Question

Срочно, помогите решить задание из ЕГЭ по профильной математике №17 на оптимизацию. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до t1 = 2,5t0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства товара составляет 9000 - 2t единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе?

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото.

Задачи, в которых фигурирует "Найдите максимум", "Найдите минимум" и тд, решаются через функции и их анализ.

Данная задача относиться к пласту простейших квадратичных функций, так как для того, чтобы определить max min, нам даже не нужно применять производную. Конечно, если вы помните формулу для нахождения вершины параболы.

* Что касается последних слова - "и 0 единиц". Я так понял имелось ввиду, что t ≠0. Но это уже и так указанно в словах - "число положительно", так как 0 - это и не отрицательное и не положительное число.

Надеюсь ответ был полным и исчерпывающим. Удачи!

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу поэтапно.

Шаг 1: Определение налоговых поступлений до изменения налога. Обозначим налог до изменения как t0, а объем производства товара как P. Тогда налоговые поступления до изменения налога составляют: T0 = t0 * P

Шаг 2: Увеличение налога в 2,5 раза и оставление налоговых поступлений неизменными. После увеличения налога в 2,5 раза налог составит t1 = 2,5 * t0. Налоговые поступления после этого также остаются неизменными: T1 = t1 * P

Шаг 3: Рассмотрение объема производства товара в зависимости от налога. По условию задачи, объем производства товара составляет 9000 - 2t, если это число положительно, и 0 иначе. Таким образом, нам интересны значения налога t, при которых 9000 - 2t > 0.

9000 - 2t > 0 2t < 9000 t < 4500

Таким образом, мы получаем ограничение для значения налога: t < 4500.

Шаг 4: Определение максимальных налоговых сборов. Мы хотим определить значение налога, при котором достигается максимальное значение налоговых поступлений. На основе шага 1 и шага 2, мы можем записать:

T0 = t0 * P T1 = t1 * P = (2,5t0) * P

Мы хотим найти такое значение налога t, при котором T1 будет максимальным. Поскольку T1 = (2,5t0) * P, мы можем сделать вывод, что T1 будет максимальным, когда t0 будет максимальным. Таким образом, государству следует увеличить налог в два с половиной раза после изменения налога.

Шаг 5: Определение изменения налога для достижения максимальных налоговых сборов. Из шага 4 мы знаем, что государству следует увеличить налог в 2,5 раза. Так как t1 = 2,5t0, мы можем записать:

t1 = 2,5t0 2,5t0 = t0 + Δt 1,5t0 = Δt

Таким образом, государству следует увеличить налог на 1,5t0 или на 150% налога до