Question

Решить уравнение x^4+x^3-4x^2-2x+4=0

Answer 1

Сумма коэффициентов равна 0, поэтому один из корней = 1
делим левую часть на x-1:
x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0
x(x^2-2) + 2(x^2-2) = 0
(x^2-2)(x+2)=0
x=-2
x=sqrt{2}
и предыдущий корень x = 1

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4 = 0, можно воспользоваться различными методами, включая численные и аналитические подходы. В данном случае я продемонстрирую аналитическое решение, используя метод Рафаля.

1. Проверка целочисленных корней: Проверим уравнение для целых значений x, начиная от -10 до 10, чтобы найти возможные целочисленные корни. Подставим каждое значение в уравнение и найдем корни:

При x = -3: (-3)^4 + (-3)^3 - 4(-3)^2 - 2(-3) + 4 = 81 - 27 - 36 + 6 + 4 = 28 ≠ 0 При x = -2: (-2)^4 + (-2)^3 - 4(-2)^2 - 2(-2) + 4 = 16 - 8 - 16 + 4 + 4 = 0 При x = -1: (-1)^4 + (-1)^3 - 4(-1)^2 - 2(-1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 2 + 4 = 2 ≠ 0 При x = 0: 0^4 + 0^3 - 4(0)^2 - 2(0) + 4 = 0 + 0 + 0 + 0 + 4 = 4 ≠ 0 При x = 1: 1^4 + 1^3 - 4(1)^2 - 2(1) + 4 = 1 + 1 - 4 - 2 + 4 = 0 При x = 2: 2^4 + 2^3 - 4(2)^2 - 2(2) + 4 = 16 + 8 - 16 - 4 + 4 = 8 ≠ 0 При x = 3: 3^4 + 3^3 - 4(3)^2 - 2(3) + 4 = 81 + 27 - 36 - 6 + 4 = 70 ≠ 0

Из проведенной проверки видно, что уравнение имеет два целочисленных корня: x = -2 и x = 1.

2. Используем синтетическое деление: Применим синтетическое деление для деления уравнения на (x - (-2)) и (x - 1), чтобы получить квадратное уравнение.

Сначала, разделим уравнение на (x + 2):

(x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4) ÷ (x + 2)

markdownCopy code
           x^3 -  x^2 - 3x +  2
      ___________________________

x + 2 | x^4 + x^3 - 4x^2 - 2x + 4 - (x^4 + 2x^3)