Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной y=|x+1|, y=3-|x| через интеграл

Answer 1

Решение примерно такое

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними. В данном случае, для нахождения площади фигуры ограниченной функциями y = |x + 1| и y = 3 - |x|, следует найти точки их пересечения.

Для этого, приравняем два выражения и решим уравнение:

|x + 1| = 3 - |x|

Рассмотрим два случая:

1. x + 1 ≥ 0, x ≥ -1: При x ≥ -1, уравнение примет вид: x + 1 = 3 - x 2x = 2 x = 1

2. x + 1 < 0, x < -1: При x < -1, уравнение примет вид: -(x + 1) = 3 - x -x - 1 = 3 - x -1 = 3

Второй случай не дает нам решений, поэтому у нас есть только одна точка пересечения (1, 2).

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя разность функций в пределах x от -1 до 1:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где a = -1 и b = 1, f(x) = 3 - |x|, g(x) = |x + 1|.

S = ∫[-1,1] (3 - |x| - |x + 1|) dx

Для удобства рассмотрим два интервала: [-1, 0] и [0, 1]:

S = ∫[-1,0] (3 - x + x + 1) dx + ∫[0,1] (3 - x - x - 1) dx = ∫[-1,0] (4) dx + ∫[0,1] (1 - 2x) dx = 4x ∣[-1,0] + (x - x^2) ∣[0,1] = 4(0 - (-1)) + (1 - 1^2) - (0 - 0^2) = 4 + 1 - 0 = 5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной функциями y = |x + 1| и y = 3 - |x|, равна 5.