Question

P(x)=x^4-x^3+x-1 Разложить на множители. Спасибо!

Answer 1

P(x)=(x^4+x)-(x³+1)=
x(x³+1)-(x³+1)=
(x³+1)(x-1)

Answer 2

Чтобы разложить многочлен на множители, мы должны найти его корни. Для данного многочлена P(x) = x^4 - x^3 + x - 1, мы можем использовать методы факторизации и синтетического деления, чтобы найти корни и разложить его.

Мы можем начать, подставив различные значения x, чтобы проверить, являются ли они корнями многочлена P(x). Попробуем некоторые простые значения, например x = 1:

P(1) = (1)^4 - (1)^3 + 1 - 1 = 0.

Таким образом, (x - 1) является одним из множителей многочлена P(x). Используем синтетическое деление, чтобы поделить многочлен P(x) на (x - 1):

markdownCopy code
 1 │ 1  -1  1  -1
    -   1   0   1
    ___________
     1   0   1   0

Результат синтетического деления равен 1x^2 + 0x + 1 = x^2 + 1. Теперь мы можем записать многочлен P(x) в виде:

P(x) = (x - 1)(x^2 + 1).

Мы видим, что x^2 + 1 не имеет вещественных корней, поэтому мы не можем разложить его на множители над полем вещественных чисел. Однако, если рассматривать комплексные числа, то x^2 + 1 разлагается на два комплексных множителя:

x^2 + 1 = (x + i)(x - i).

Таким образом, полное разложение многочлена P(x) на множители выглядит следующим образом:

P(x) = (x - 1)(x + i)(x - i).

В итоге, многочлен P(x) разлагается на множители (x - 1), (x + i) и (x - i).