Question

В корзине лежат 50 разноцветных шариков. Докажите, что среди них найдётся либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов. Очень, очень надо с решением, спасибо.

Answer 1

Пусть в корзине нет 8 шариков одного цвета, тогда возьмем максимально возможное количество шариков каждого цвета ,чтобы уменьшить количество цветов, т.е. шариков одного цвета - 7 максимум, в 50 шариках умещается 7 таких цветов, + 1 цвет, в который окрашен 1 шар ,т.е. 8 цветов минимальное количество, если количество шаров одного цвета не превышает 8, иначе есть 8 шариков 1 цвета, чтд

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящика или принцип Дирихле-Штейнера).

Предположим, что среди 50 разноцветных шариков нет ни 8 шариков одного цвета, ни 8 шариков разных цветов.

Рассмотрим первый шарик. Он может быть одного из 50 цветов. По предположению, ни одного шарика того же цвета в корзине нет.

Рассмотрим второй шарик. Он может быть одного из 49 оставшихся цветов. По предположению, ни одного шарика того же цвета в корзине нет.

Аналогично, для третьего, четвертого и так далее, пятого, шестого, седьмого шариков мы можем выбрать цвет из оставшихся 48, 47, 46 и так далее.

Теперь рассмотрим восьмой шарик. У нас осталось 43 цвета, и по предположению, ни одного шарика того же цвета в корзине нет. Однако, мы уже выбрали 7 шариков, по одному каждого из 7 различных цветов.

По принципу Дирихле, если у нас есть n объектов, которые мы распределяем по k ящикам, и n > k, то хотя бы в одном из ящиков будет находиться более одного объекта.

В нашем случае, у нас 43 цвета и 8 шариков. При распределении 8 шариков по 43 цветам, по принципу Дирихле, хотя бы в одном цвете будет находиться более одного шарика.

Таким образом, мы приходим к противоречию с предположением, что нет ни 8 шариков одного цвета, ни 8 шариков разных цветов. Следовательно, наше предположение неверно, и среди 50 разноцветных шариков обязательно найдутся либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.