Question

Решить интеграл от 0 до 1 dx/x^2+2x+5

Answer 1

Решение: вычислим интеграл по формуле Ньютона - Лейбница, пусть x^2 + 2x +5 = u, dx =( 1/2*x + 2)dx, ...

Answer 2

Для решения данного интеграла можно воспользоваться методом частных дробей.

1. Начнем с факторизации знаменателя: x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4

2. Затем представим интеграл в виде суммы простых дробей: 1/(x^2 + 2x + 5) = A/(x + 1)^2 + B/(x + 1) + C/(x^2 + 2x + 5)

3. Найдем значения коэффициентов A, B и C, приравняв числитель и знаменатель: 1 = A(x + 1)(x^2 + 2x + 5) + B(x + 1)(x^2 + 2x + 5) + C(x + 1)^2

4. Подставим значения x = -1, x = 0 и x = 1, чтобы найти коэффициенты A, B и C.

   При x = -1: 1 = A(0)(4) + B(0)(4) + C(0)^2 1 = 0 + 0 + 0 1 = 0

   При x = 0: 1 = A(1)(5) + B(1)(5) + C(1)^2 1 = 5A + 5B + C

   При x = 1: 1 = A(2)(8) + B(2)(8) + C(2)^2 1 = 16A + 16B + 4C

   Решая систему уравнений: 0 = 0 1 = 5A + 5B + C 1 = 16A + 16B + 4C

   Получаем A = -1/4, B = -1/4, C = 1/2.

5. Теперь разложим исходную функцию на простые дроби: 1/(x^2 + 2x + 5) = (-1/4)/(x + 1)^2 + (-1/4)/(x + 1) + (1/2)/(x^2 + 2x + 5)

6. Теперь проинтегрируем каждую простую дробь по отдельности: ∫((-1/4)/(x + 1)^2 + (-1/4)/(x + 1) + (1/2)/(x^2 + 2x + 5)) dx

   = -1/4 * ∫(1/(x + 1)^2) dx - 1/4 * ∫(1/(x + 1)) dx + 1/2 * ∫(1/(x^2 + 2x + 5)) dx

   = -1/4 * (-1/(x + 1)) - 1/4 * ln|x + 1| + 1/2 * ∫(1/(x^2 + 2x + 5)) dx

   = 1/4 * (1/(x + 1)) - 1/