Question

У лифта на первом этаже 18-этажного дома собрались 17 министров, которым нужно подняться вверх, причем на разные этажи. Лифтер согласен лишь на один рейс на любой этаж, а дальше пусть они идут пешком. Лифт способен вместить всех министров. Известно что все министры с одинаковым неудовольствием спускаются на один этаж вниз и с двойным неудовольствием поднимаются пешком вверх на один этаж.Какой этаж нужно выбрать, чтобы суммарное неудовольствие было наименьшим?

Answer 1

Из условия следует, что на каждом этаже живёт ровно по одному министру. Пусть n – искомый номер этажа. Тогда министру живущему на этом этаже, не нужно не подниматься вверх, не спускаться вниз. Вверх же нужно подняться всего 18-n, на 1, 2, 3, …, 18-n этажей соответственно. Вниз придётся спускаться n-1 министру, на 1,2,3,…, n-1 этажей. Подсчитаем общее количество неудовольствий с учётом того, что подниматься вверх министрыне любят в двойне: 

Заметим, что минимум полученного квадратного трёхчлена достигается в точке n= . В силу того, что n – целое, а также парабола имеет ось симметрии, лифт должен подняться на 13 этаж. Ответ: на 13 этаж

Если бы лифт поднялся на пятый этаж, тогда один приедет на нужный этаж. второму пришлось бы спуститься на один этаж(-1), третьему на два этажа (-2), четвёртому спуститься на три этажа(-3) В итоге 6 неудовольствий

Если бы лифт поднялся на четвёртый этаж, тогда один приедет на нужный этаж. второму пришлось бы подняться на один этаж(-2), третьему спуститься на один этаж (-1), четвёртому спуститься на два этажа(-2) В итоге 5 неудовольствий

Если бы лифт поднялся на третий этаж, тогда один приедет на нужный этаж. второму пришлось бы подняться на два этажа(-4), третьему на один этаж (-2), четвёртому спуститься на один этаж(-1) В итоге 7 неудовольствий

Если бы лифт поднялся на второй этаж, тогда один приедет на нужный этаж. второму пришлось бы подняться на один этаж(-2), третьему на два этажа (-4), четвёртому на три этажа(-6) В итоге 12 неудовольствий

Answer 2

Чтобы определить наименьшее суммарное неудовольствие, нужно выбрать такой этаж, чтобы минимизировать количество подъемов пешком и количество спусков на один этаж вниз для каждого министра.

Пусть x будет выбранным этажом. Если министр должен подняться на этаж выше x, то он будет испытывать неудовольствие в количестве (этаж - x) * 2, потому что он должен подняться пешком на каждый этаж выше x.

Если министр должен спуститься на этаж ниже x, то он будет испытывать неудовольствие в количестве (x - этаж), потому что он должен спуститься на один этаж вниз.

Таким образом, для каждого министра мы можем рассчитать его неудовольствие в зависимости от выбранного этажа x и суммировать их все, чтобы получить общее неудовольствие.

Обозначим количество министров, которые должны подняться на этаж выше x, как m, и количество министров, которые должны спуститься на этаж ниже x, как n. Тогда суммарное неудовольствие будет равно:

Суммарное неудовольствие = (18 - x) * 2 * m + (x - 1) * n

Заметим, что m + n = 17, так как все министры должны быть учтены.

Мы хотим минимизировать суммарное неудовольствие. Для этого мы можем рассмотреть все возможные значения x от 1 до 18 и выбрать то значение x, при котором суммарное неудовольствие будет наименьшим.

Проходя по всем значениям x от 1 до 18 и вычисляя суммарное неудовольствие для каждого значения, мы можем найти этаж, который минимизирует суммарное неудовольствие.

Примечание: В данной задаче подразумевается, что каждый министр должен быть доставлен на свой этаж без разницы, насколько далеко этот этаж находится от первого этажа. Если цель заключается в минимизации времени или энергозатрат на перемещение, тогда решение будет отличаться и потребует других подходов к оптимизации.