Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! Решите дифференциальное уравнение второго порядка подробно: y''+12*y'+2*y=e^x

Answer 1

$y''+12y'+2y=e^{x}\\\\1)\; \; k^2+12k+2=0\; ,\; \; D/4=36-2=34\; \; ,\; \; k_{1,2}=-6\pm \sqrt{34}\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1\cdot e^{(-6-\sqrt{34})x}+C_2\cdot e^{(-6+\sqrt{34})x}\\\\2)\; \; f(x)=e^{1\cdot x}\; \; ,\; \; \alpha =1\ne k_{1,2}\\\\y_{chastn.neodn.}=Ae^{x}\\\\y'=Ae^{x}\\\\y''=Ae^{x}\\\\y''+12y'+2y=Ae^{x}+12Ae^{x}+2Ae^{x}=15Ae^{x}\\\\15Ae^{x}=e^{x}\; \; \to \; \; \; A=\frac{1}{15}\\\\3)\; \; y_{obsh.neodn.}=C_1\cdot e^{(-6-\sqrt{34})x}+C_2\cdot e^{(-6+\sqrt{34})x}+\frac{1}{15}\, e^{x}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить дифференциальное уравнение второго порядка y'' + 12y' + 2y = e^x. Давайте начнем.

Шаг 1: Находим характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение связано с однородной частью дифференциального уравнения и имеет вид r^2 + 12r + 2 = 0. Решим его с помощью квадратного уравнения или формулы дискриминанта.

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * 2 = 144 - 8 = 136. Так как D > 0, у нас есть два различных корня.

r = (-b ± √D) / (2a) r = (-12 ± √136) / 2 r = (-12 ± 2√34) / 2 r = -6 ± √34.

Таким образом, получаем два корня характеристического уравнения: r1 = -6 + √34 и r2 = -6 - √34.

Шаг 2: Находим общее решение однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = c1 * e^(r1x) + c2 * e^(r2x), где c1 и c2 - произвольные константы.

Шаг 3: Находим частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть дифференциального уравнения равна e^x, можно предположить, что частное решение имеет вид y_p = A * e^x, где A - константа.

Подставляем y_p в исходное уравнение: (A * e^x)'' + 12 * (A * e^x)' + 2 * (A * e^x) = e^x.

Производные e^x равны e^x, поэтому получаем: (A * e^x) + 12 * (A * e^x) + 2 * (A * e^x) = e^x.

Упрощаем уравнение: 15 * A * e^x = e^x.

Сокращаем e^x на обеих сторонах: 15 * A = 1.

Таким образом, получаем A = 1/15.

Теперь, зная значение A, можем записать частное решение неоднородного уравнения: y_p = (1/15) * e^x.

Шаг 4: Записываем общее решение. Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: y = y_h + y_p = c1