Question

Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна p. Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов. Найдите математическое ожидание числа выстрелов. Пожалуйста с объяснением и формулой

Answer 1

Рассуждаем: нужно попасть 3 раза из 5 выстрелов, причем так как стрельба прекращается после поражения всех мишеней, то 5-ый выстрел был удачным. Тогда разделяем: 2 попадания из 4 выстрелов + удачный 5-ый выстрел. Найти вероятность попадания 2 раза из 4 выстрелов можно через формулу 
$P(A)=C_4^2*p^2*q^2$
p-вероятность попасть (в квадрате так как попали 2 раза)
q=(1-p)-вероятность не  попасть (в квадрате так как не попали 4-2=2 раза)
C из 4 по 2 - сочетание без повторений
$P(A)= \frac{4*3}{1*2} p^2*(1-p)^2 \\ P(A)= 6p^2*(1-p)^2 \\ P(A)= 6p^2*(1-2p+p^2) \\ P(A)= 6p^2-12p^3+6p^4$
Пятый выстрел был удачным значит все выражение умножаем на вероятность попадания р:
$P(B)=6p^3-12p^4+6p^5$

Мат ожидание вычисляется как частное количества необходимых попаданий и вероятности попадания
$M(X)= \frac{3}{p}$
Так в идеальном случае (p=1) выстрелов понадобится 3, а случае попадания p=0,5 - 6 выстрелов (из которых теоретически половина пройдет мимо), и так далее по принципу "чем меньше вероятность попадания, тем больше необходимо выстрелов"

ответы:  6p^3-12p^4+6p^5; 3/р

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что потребуется ровно 5 выстрелов, мы должны рассмотреть все возможные комбинации попаданий и промахов, которые могут привести к этому результату.

Поскольку вероятность попадания при одном выстреле равна p, вероятность промаха будет равна (1 - p).

Чтобы потребовалось ровно 5 выстрелов, возможны следующие комбинации:

• Попадание, попадание, попадание, попадание, попадание (ppppp)
• Промах, попадание, попадание, попадание, попадание (ppppp)
• Промах, промах, попадание, попадание, попадание (ppppp)
• Промах, промах, промах, попадание, попадание (ppppp)
• Промах, промах, промах, промах, попадание (ppppp)

Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей попаданий и промахов, так как события независимы:

• Вероятность комбинации "ppppp": p * p * p * p * p = p^5
• Вероятность комбинации "ppppp": (1 - p) * p * p * p * p = (1 - p) * p^4
• Вероятность комбинации "ppppp": (1 - p) * (1 - p) * p * p * p = (1 - p)^2 * p^3
• Вероятность комбинации "ppppp": (1 - p) * (1 - p) * (1 - p) * p * p = (1 - p)^3 * p^2
• Вероятность комбинации "ppppp": (1 - p) * (1 - p) * (1 - p) * (1 - p) * p = (1 - p)^4 * p

Таким образом, вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов, равна сумме вероятностей всех этих комбинаций: P(5 выстрелов) = p^5 + (1 - p) * p^4 + (1 - p)^2 * p^3 + (1 - p)^3 * p^2 + (1 - p)^4 * p

Чтобы найти математическое ожидание числа выстрелов, мы должны рассмотреть все возможные сценарии и их вероятности. Мы начинаем с 1 выстрела, и с каждым дополнительным выстрелом вероятность попадания увеличивается.

Пусть E(k) обозначает математическое