Question

Доказать sin a+2sin2a+sin3a/cosa+2cos2a+cos3a=tg2a

Answer 1

(sin a+2sin2a+sin3a)/(cosa+2cos2a+cos3a)=tg2a
(sin a+sin3a=2sin(a+3а)/2* cos(a-3а)/2=  2sin2а* cosа,тогда
cosa+cos3a=2 cos(a+3а)/2*cos(а-3а)/2= 2cos2a*cosa или
 2sin2а cosа + 2sin2а= 2sin2а(1+ cosа) 
и   (cosa+2cos2a+cos3a)=  2cos2a*cosa+2cos2a=  2cos2a(cosa+1) и тгда имеем:
2sin2а(1+ cosа)/  2cos2a(cosa+1) = 2sin2а/  2cos2a= tg2a 

Answer 2

Для начала, давайте распишем каждое слагаемое на левой стороне уравнения и приведем их к общему знаменателю, который будет равен cosa:

sin a + 2sin 2a + sin 3a / cosa + 2cos 2a + cos 3a

Распишем sin 2a и cos 2a через sin a и cos a:

sin a + 2 * 2 * sin a * cos a + sin 3a / cosa + 2 * (2 * cos^2 a - 1) + cos 3a

Упростим выражение:

sin a + 4sin a * cos a + sin 3a / cosa + 4cos^2 a - 2 + cos 3a

Сгруппируем слагаемые:

(5sin a + 4cos^2 a) + (sin 3a + cos 3a) / cosa - 2

Распишем sin 3a и cos 3a через sin a и cos a:

(5sin a + 4cos^2 a) + (3sin a - 4sin^3 a + 4cos^3 a - 3cos a) / cosa - 2

Упростим выражение еще раз:

5sin a + 4cos^2 a + (3sin a - 4sin^3 a + 4cos^3 a - 3cos a) / cosa - 2

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулами сложения и умножения тригонометрических функций:

sin a = cos (90° - a) cos^2 a = 1 - sin^2 a sin 2a = 2sin a * cos a cos 2a = cos^2 a - sin^2 a cos 3a = cos^3 a - 3cos a * sin^2 a sin 3a = 3sin a * cos^2 a - sin^3 a

Заменим значения:

5sin a + 4(1 - sin^2 a) + (3sin a - 4sin^3 a + 4(cos^3 a - 3cos a * sin^2 a)) / cosa - 2

Упростим выражение:

5sin a + 4 - 4sin^2 a + 3sin a - 4sin^3 a + 4cos^3 a - 12cos a * sin^2 a / cosa - 2

Сгруппируем слагаемые:

-4sin^3 a - 4sin^2 a - 12cos a * sin^2 a + 5sin a + 3sin a + 4cos^3 a - 12cos a * sin^2 a + 4 - 2 / cosa

-4sin^3 a - 4sin^2 a - 12cos a * sin^2 a + 5sin a + 3sin a + 4cos^3 a - 12cos a * sin^2 a + 2 / cosa

-4sin^3 a - 4sin^2 a - 12cos a * sin^2 a + 8sin a + 4