Question

Вычислить объём тела, ограниченного параболоидом и плоскостями: x^2 + y^2 = z, x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3

Answer 1

$V = \int\limits_0^2\int\limits_0^3 \int\limits_0^{x^2+y^2} \, dzdydx=\\ = \int\limits_0^2\int\limits_0^3x^2+y^2dydx=\\ =\int\limits_0^23x^2+9dx=\\ x^3+9x|_0^2=8+18=26$

Answer 2

Для вычисления объёма тела, ограниченного параболоидом и плоскостями, мы должны найти пределы интегрирования по каждой переменной. Затем мы вычислим тройной интеграл функции единицы в пределах этих границ.

Дано уравнение параболоида: x^2 + y^2 = z.

Первые два плоские границы указаны: x = 0 и y = 0. Эти плоскости разделяют объём на четверти. Мы можем вычислить объём одной четверти и умножить его на 4, чтобы получить полный объём.

Третья плоская граница: z = 0, задает нижнюю границу объёма.

Четвёртая плоская граница: x = 2, задает верхнюю границу для переменной x.

Пятая плоская граница: y = 3, задает верхнюю границу для переменной y.

Итак, границы интегрирования:

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ x^2 + y^2

Теперь мы можем записать тройной интеграл для вычисления объёма:

V = 4 ∫∫∫ dx dy dz

Границы интегрирования:

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ x^2 + y^2

Теперь мы вычислим интеграл:

V = 4 ∫∫∫ dx dy dz = 4 ∫₀² ∫₀³ ∫₀^(x^2+y^2) dz dy dx

Сначала интегрируем по z:

V = 4 ∫₀² ∫₀³ [z]₀^(x^2+y^2) dy dx = 4 ∫₀² ∫₀³ (x^2 + y^2) dy dx

Затем интегрируем по y:

V = 4 ∫₀² [(x^2y + (1/3)y^3)]₀³ dx = 4 ∫₀² (x^23 + (1/3)3^3) dx = 4 ∫₀² (3x^2 + 9) dx = 4 [(x^3 + 9x)]₀² = 4 [(2^3 + 92) - (0^3 + 90)] = 4 (8 + 18) = 104

Таким образом, объём тела, ограниченного параболоидом и плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 2, y = 3, равен 104 единицам объёма.