Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной параболой y=-x^2+4x и прямой y=4-x

Answer 1

-x^2+4x=4-x

-x^2+4x-4+x=0

-x^2+5x-4=0

x^2-5x+4=0

D=25-16=9

x1=(5+3)/2*1= 8/2=4

x2=(5-3)/2*1=2/2=1

(1;4) (x^2-5x+4) dx = x^3/3 -5x^2/2 +4x | (1;4) =

=4^3/3-5*4^2/2 +4*4 - 1/3+5/2-4 = 64/3-40+16-1/3 +5/2 -4 =

=63/3 -28+2,5 = 21-28+2,5=-7+2,5=-4,5=4,5 ( Т.к. площадь не может быть отрицательной)

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4x и прямой y = 4 - x, необходимо найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл от x-координаты одной точки пересечения до другой.

Для начала найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения: -x^2 + 4x = 4 - x

Перепишем уравнение в квадратичной форме: x^2 + 3x = 0

Факторизуем выражение: x(x + 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = -3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл. Поскольку парабола находится выше прямой в интервале от x = -3 до x = 0, интеграл будет иметь вид:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - x-координаты точек пересечения, f(x) - уравнение параболы, а g(x) - уравнение прямой.

S = ∫[-3,0] ((-x^2 + 4x) - (4 - x)) dx

Вычислим данный определенный интеграл:

S = ∫[-3,0] (-x^2 + 4x - 4 + x) dx

S = ∫[-3,0] (-x^2 + 5x - 4) dx

Для вычисления интеграла найдем первообразную данной функции:

F(x) = (-1/3)x^3 + (5/2)x^2 - 4x

Вычислим значение интеграла от -3 до 0:

S = F(0) - F(-3)

S = [(-1/3)(0)^3 + (5/2)(0)^2 - 4(0)] - [(-1/3)(-3)^3 + (5/2)(-3)^2 - 4(-3)]

S = 0 - [(-1/3)(-27) + (5/2)(9) + 12]

S = 0 - [9 + 22.5 + 12]

S = 0 - 43.5

S = -43.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4x и прямой y = 4 - x, равна -43.5.