Question

1. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение x²-2(a-1)x+2a+1=0 имеет корни.

Answer 1

Ответ: а<=-2; а>=2 (а меньше или равно -2; а больше или равно 2)

Пошаговое объяснение:

Найдём дискриминант уравнения

D=[2(a-1)]²-4(2a+1)=4a²-8a+4-8a-4=

4a²-16a

Чтобы уравнение имело реальные корни,

D должен быть больше или равен 0

4а²-16а>=0 =>

а²-4>=0 => а²>=4 =>

а<=-2; а>=2 (а меньше или равно -2; а больше или равно 2)

Answer 2

Чтобы квадратное уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным, то есть D = b² - 4ac ≥ 0, где уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0.

В данном случае у нас квадратное уравнение x² - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0, где a - неизвестная переменная.

Подставим коэффициенты в формулу дискриминанта: D = (-2(a - 1))² - 4 * 1 * (2a + 1) = 4(a² - 2a + 1) - 8a - 4 = 4a² - 8a + 4 - 8a - 4 = 4a² - 16a

Теперь решим неравенство D ≥ 0: 4a² - 16a ≥ 0 4a(a - 4) ≥ 0

Для того, чтобы произведение двух чисел было неотрицательным, оба числа должны быть либо положительными, либо отрицательными. Исключим случай, когда оба числа равны нулю (a = 0, a = 4), так как это не удовлетворяет исходному уравнению.

Итак, получаем два интервала значений a:

1. a < 0
2. a > 4

Таким образом, все значения a, при которых квадратное уравнение x² - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0 имеет корни, лежат в интервалах a < 0 и a > 4.