Question

Определите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=2х^2; у=0;у=-1;у=1.

Answer 1

у=2x^2; у=0;x=-1;x=1  вот так правильно будет условие
тогда
S = [-1;1] ∫ 2x^2 =  2* x^3/3 |[-1;1] = 2/3* (1^3 -(-1)^3) = 2/3 *2 = 4/3
ответ:  S = 4/3

Answer 2

Для определения площади криволинейной трапеции, ограниченной указанными линиями, необходимо найти интеграл функции, описывающей разницу между верхней и нижней кривыми. В данном случае верхняя кривая представлена у = 2х^2, а нижняя кривая - у = 0.

Для начала найдем точки пересечения верхней и нижней кривых:

2х^2 = 0 x^2 = 0 x = 0

Таким образом, точка пересечения находится в начале координат (0, 0).

Затем найдем точки пересечения верхней и нижней кривых с горизонтальными линиями у = -1 и у = 1:

2х^2 = -1 х^2 = -1/2 x = ±√(-1/2)

2х^2 = 1 х^2 = 1/2 x = ±√(1/2)

Обратите внимание, что х^2 не может быть отрицательным, поэтому у = -1 не пересекает верхнюю кривую, а у = 1 пересекает ее в двух точках x = ±√(1/2).

Теперь можем найти площадь криволинейной трапеции:

S = ∫[a,b] (верхняя функция - нижняя функция) dx,

где [a, b] - интервал интегрирования. В данном случае интервал интегрирования будет между x = -√(1/2) и x = √(1/2), так как это точки пересечения верхней кривой с у = 1.

S = ∫[-√(1/2), √(1/2)] (2х^2 - 0) dx = ∫[-√(1/2), √(1/2)] 2х^2 dx = 2 * ∫[0, √(1/2)] х^2 dx = 2 * [x^3/3] [0, √(1/2)] = 2 * [(√(1/2))^3/3 - 0] = 2 * (1/3√2 - 0) = 2/3√2.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=2х^2, у=0, у=-1 и у=1, равна 2/3√2.