Question

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений. 1. 2xdy-(2x+1)tg(3y)dx=0 2. xy'+x^2=3y

Answer 1

Ловите решение. Первое ДУ с разделяющимися переменными, второе ЛНДУ. Во втором случае применяем метод вариации произвольной постоянной.
Удачи вам!

Answer 2

1. Для решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод разделения переменных.

Начнем с преобразования уравнения: 2xdy - (2x + 1)tg(3y)dx = 0

Разделим на две части и перенесем один из дифференциалов на другую сторону: dy / tg(3y) = (2x + 1)dx / 2x

Теперь проинтегрируем обе части: ∫(dy / tg(3y)) = ∫((2x + 1)dx / 2x)

Для интегрирования левой части уравнения можно использовать замену переменных. Обозначим u = 3y, тогда du = 3dy, а уравнение примет вид: ∫(du / tg(u)) = ∫((2x + 1)dx / 2x)

Для интегрирования правой части воспользуемся свойствами логарифма и проинтегрируем каждую часть по отдельности.

Левая часть: ∫(du / tg(u)) = ∫(du / sin(u) / cos(u)) = ∫(cos(u) / sin(u))du = ln|sin(u)| + C1

Правая часть: ∫((2x + 1)dx / 2x) = ∫(dx + dx / 2x) = x + ln|2x| + C2

Теперь подставим обратно u = 3y: ln|sin(3y)| + C1 = x + ln|2x| + C2

Объединяя константы C1 и C2 в одну константу C, получаем окончательное общее решение в виде: ln|sin(3y)| = x + ln|2x| + C

2. Для решения данного дифференциального уравнения также можно использовать метод разделения переменных.

Начнем с преобразования уравнения: xy' + x^2 = 3y

Перенесем все члены с y на одну сторону, а с x на другую: xy' - 3y = -x^2

Теперь разделим на x и приведем уравнение к виду: y' - (3/x)y = -x

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Мы можем использовать метод интегрирующего множителя, чтобы найти общее решение.

Сначала найдем интегрирующий множитель, умножив оба члена уравнения на x^(-3): x^(-3)y' - 3x^(-4)y = -x^(-2)

Теперь заменим левую часть на производную произведения интегрирующего множит