Question

Оля задумала число. Остаток задуманного числа при делении на 9 равен неполному частному. Кроме того, остаток задуманного числа при делении на 14 тоже равен неполному частному. Какое число задумала Оля? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет. 13 баллов

Answer 1

Ответ с решением в приложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим условия задачи по очереди.

Условие 1: Остаток задуманного числа при делении на 9 равен неполному частному.

Пусть задуманное число равно x. Тогда условие можно записать как: x ≡ x // 9 (mod 9),

где "≡" обозначает сравнение по модулю, "//" обозначает операцию неполного частного (целая часть от деления), а "mod" означает операцию взятия остатка.

Мы можем заметить, что любое число x, кратное 9, удовлетворяет данному условию. Это происходит потому, что неполное частное от деления любого числа, кратного 9, на 9 равно этому числу деленному на 9, что равно 1. То есть, x // 9 = x / 9 = 1.

Условие 2: Остаток задуманного числа при делении на 14 равен неполному частному.

Аналогично, условие можно записать как: x ≡ x // 14 (mod 14).

Также здесь можно заметить, что любое число x, кратное 14, удовлетворяет данному условию. Неполное частное от деления любого числа, кратного 14, на 14 равно этому числу деленному на 14, что равно 1. То есть, x // 14 = x / 14 = 1.

Таким образом, любое число, кратное и 9, и 14, будет являться возможным ответом на задачу.

Давайте найдем все такие числа в интервале от 1 до 1000.

Числа, которые делятся на 9 и 14, кратны их наименьшему общему кратному (НОК). НОК(9, 14) = 126.

Таким образом, числа, которые удовлетворяют условию, находятся по формуле: x = k * 126,

где k - любое целое число.

В интервале от 1 до 1000, возможные значения x равны: 126, 252, 378, 504, 630, 756, 882.

Таким образом, все возможные ответы на задачу - это числа 126, 252, 378, 504, 630, 756 и 882.